Dana jest funkcia
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{e^{i\pi z}+1}{z^2(z-1)^2\sin\frac{\pi z}{2}}
}\)
Zadanie polega na scharakteryzowaniu punktow osobliwych, lacznie z punktem w nieskonczonosci, i obliczeniu residuow.
LIczy sie na palcach, ze w \(\displaystyle{ z=0}\) jest biegun rzedu 3, w \(\displaystyle{ z=1}\) biegun rzedu 2, a w \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in\mathbb{N}}\) - bieguny jednokrotne.
Schody zaczynaja sie w nieskonczonosci. Mamy zbadac zachowanie funkcji \(\displaystyle{ g(z)=f(\frac{1}{z}) }\) w zerze.
Funkcja \(\displaystyle{ \phi(z)=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{2z}}}\), ktora sie wtedy pojawia, ma w zerze nieizolowany punkt osobliwy, a wiec residuum jest niedefiniowalne. (I - prosze mnie poparawic, jesli sie myle - obecnosc \(\displaystyle{ e^{\frac{i\pi}{z}}+1}\) w liczniku sytuacji nie ratuje).
Twierdzenie o sumie residuow stosujemy wiec do wyzej wymienionych punktow "skonczonych".
Cos tu naknocilam? Bede wdzieczna za wskazowki.
Punkt osobliwy w nieskończoności, nieizolowany
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Punkt osobliwy w nieskończoności, nieizolowany
Raczej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\), zapewne literówka.
Zgadza się, co widać już po tym, że \(\displaystyle{ f(z)}\) ma bieguny o dowolnie dużych modułach.
Co to znaczy?
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Punkt osobliwy w nieskończoności, nieizolowany
Dziekuje za odpowiedz. )
Mialam na mysli, ze dla obliczenie np. residuum w zerze - wobec tego, ze residuum w nieskonczonosci nie istnieje - wezmiemy pod uwage tylko residua wczesniej obliczone. Ale to nie jest takie wazne, najciekawszy jest tu punkt osobliwy nieizolowany w nieskonczonosci.
Moze ja ponownie sformuluje to, co do czego mam watpliwosc: czy funkcja \(\displaystyle{ f }\) ma nieizolowany punkt osobliwy w nieskonczonosci? (Tzn czy czynnik w liczniku nie kasuje efektu "nieizolowania", spowodowanego funkcja sinus w mianowniku.)
Powinno byc, sadze, \(\displaystyle{ z=2n, ~~n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}}\) (nocne pisanie bylo)
Mialam na mysli, ze dla obliczenie np. residuum w zerze - wobec tego, ze residuum w nieskonczonosci nie istnieje - wezmiemy pod uwage tylko residua wczesniej obliczone. Ale to nie jest takie wazne, najciekawszy jest tu punkt osobliwy nieizolowany w nieskonczonosci.
Moze ja ponownie sformuluje to, co do czego mam watpliwosc: czy funkcja \(\displaystyle{ f }\) ma nieizolowany punkt osobliwy w nieskonczonosci? (Tzn czy czynnik w liczniku nie kasuje efektu "nieizolowania", spowodowanego funkcja sinus w mianowniku.)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy