Pierwiastki wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Pierwiastki wielomianu
Niech \(\displaystyle{ w}\) będzie tym pierwiastkiem zespolonym wielomianu \(\displaystyle{ p(z)=z^5-1}\) który ma możliwie najmniejszy dodatni argument. Wykaż, że \(\displaystyle{ w^2, \ w^3, \ w^4}\) są pozostałym zespolonymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ p(z)}\).
Re: Pierwiastki wielomianu
Jeśli \(w^5=1\), to \(w^{5k}=(w^5)^k=1\) dla \(k\in\NN\), więc wystarczy tylko sprawdzić, że argumenty tych potęg są wzajemnie różne. Założenie o najmniejszym dodatnim argumencie jest nieistotne. Wystarczy założyć niezerowość tego argumentu. Ale uwaga: jeśli weźmiemy szóstą potęgę (czy dowolną parzystą), to już nie, założenie nabiera istotności.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Pierwiastki wielomianu
Wiem jak to rozłożyć z twierdzenia Bézouta. Natomiast nie bardzo wiem jak wykorzystać tutaj wzory Viète'a.
Edit: Już wiem, trzeba wykorzystać wzór na sumę pierwiastków.
Teraz mam kolejny podpunkt zadania. Mam rozłożyć na czynniki, liniowy oraz kwadratowe poniższe równanie:
\(\displaystyle{ z^5-1=0}\)
Edit: Już wiem, trzeba wykorzystać wzór na sumę pierwiastków.
Teraz mam kolejny podpunkt zadania. Mam rozłożyć na czynniki, liniowy oraz kwadratowe poniższe równanie:
\(\displaystyle{ z^5-1=0}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Pierwiastki wielomianu
Domyślam się, że rozkład ma być na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych - w takim wypadku rozłóż najpierw na czynniki liniowe w liczbach zespolonych, a potem wymnóż czynniki sprzężone.