Punkty osobliwe funkcji zespolonych dzielimy na izolowane i nieizolowane.
Co to jest punkt izolowany?
Załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) }\) jest określona i holomorficzna na pewnym kole \(\displaystyle{ K(z_{0}, r)}\) z wyjątkiem punktu \(\displaystyle{ z_{0} }\), który nie należy do jej dziedziny.
Jeśli taki punkt da się otoczyć kołem o dowolnie małym promieniu na którym jest holomorficzna - mamy punkt izolowany. Jeśli takie koło nie istnieje to mamy osobliwość nieizolowaną.
Załóżmy, że takie koło istnieje, czyli mamy do czynienia z osobliwością izolowaną to wtedy możemy przejść do dalszej klasyfikacji.
1. Osobliwość pozorna
Jeśli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{z\to z_{0}} f(z) = a \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ a }\) jest liczbą skończoną to osobliwość jest pozorna
2. Biegun n-tego rzędu.
Załóżmy, że nie istnieje granica \(\displaystyle{ (1) }\) ale można znleźć takie \(\displaystyle{ n\in \NN }\) , że istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{z\to z_{0}} (z-z_{0})^{n} f(z) = b \ \ (2)}\)
różna od zera i nieskończoności wtedy funkcja \(\displaystyle{ f(z) }\) ma biegun \(\displaystyle{ n-tego }\) rzędu.
3.Osobliwość istotna
Jeśli funkcja ma izolowany punkt osobliwy ale nie jest to osobliwość pozorna ani biegun rzędu \(\displaystyle{ n - }\) czyli nie istnieje takie \(\displaystyle{ n\in \NN}\), że spełniona jest równość \(\displaystyle{ (2) }\) to mamy doczynienia z osobliwośćią istotną.
Przykład
Znajdziemy punkty osobliwe funkcji:
\(\displaystyle{ f(z) = e^{\frac{2}{z}} \frac{1}{z-2}}\)
Funkcja ma dwie izolowane osobliwości \(\displaystyle{ z = 0, \ \ z = 2. }\)
Dla punktu \(\displaystyle{ z = 0 }\)
Ponieważ nie istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{z\to z_{0}} e^{\frac{2}{z}}\frac{1}{z-2} }\)
nie ma więc osobliwości pozornej.
Sprawdzamy biegun rzędu \(\displaystyle{ n }\)
\(\displaystyle{ \lim_{z\to 0} z^{n}e^{\frac{2}{z}}\frac{1}{z-2} }\)
Granica \(\displaystyle{ \frac{1}{z-2} = -\frac{1}{2}. }\)
Jeśli granica \(\displaystyle{ z^{n}e^{\frac{2}{z}} }\) w zerze miała by istnieć, to niezależała by od sposobu dążenia do \(\displaystyle{ z }\) do zera.
Niech \(\displaystyle{ z = x, \ \ u = \frac{1}{x} }\) -dążymy do zera po dodatniej półosi rzeczywistej,
wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} x^{n}e^{\frac{2}{x}}= \lim_{u\to \infty} u^{-n} e^{2u} = \infty }\) (dominacja wykładnicza nad potęgową).
Jeśli granica nie istnieje dla tego przypadku to nie istnieje w ogóle. W punkcie osobliwym \(\displaystyle{ z = 0 }\) funkcja nie ma bieguna rzędu \(\displaystyle{ n. }\)
Pozostaje więc ostatnia z trzech możliwości - osobliwość istotna.
Badamy punkt \(\displaystyle{ z= 2 }\)
Granica
\(\displaystyle{ \lim_{z\to 2}( z-2)^{1} e^{\frac{2}{z}}\frac{1}{z-2} = e.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(z) }\) ma w punkcie \(\displaystyle{ z = 2 .}\) biegun rzędu pierwszego.