Matematyka.pl

Szukam maksymalny w sensie inkluzji obszar, w którym holomorficzna jest funkcja:

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}-i\frac{y}{(x-1)^2+y^2}}\)

Obliczam pochodne cząstkowe i korzystająć z równań C-R tworzę układ równań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y^2-(x-1)^2}{((x-1)^2+y^2)^2}=\frac{-y^2+(x-1)^2}{((x-1)^2+y^2)^2} \\ \frac{-2(x-1)y}{((x-1)^2+y^2)^2}=\frac{2(x-1)y}{((x-1)^2+y^2)^2}\end{cases}}\)

Rozwiązaniem pierwszego równania jest para prostych \(\displaystyle{ y=1-x}\) lub \(\displaystyle{ y=x-1}\).
Rozwiązaniem drugiego równiania jest inna para prostych \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\)
Powyższe proste mają punkt wspólny równy \(\displaystyle{ 1}\).

Czyli równiania C-R spełnia jeden punkt. Natomiast rozwiązaniem zadania jest zbiór \(\displaystyle{ \\C}\) bez \(\displaystyle{ {1}}\).

Proszę o pomoc w zrozumieniu dlaczego holomorficzna jest cała płaszczyzna bez jednego punktu, skoro tylko ten punkt spełnia równiania Cauch'ego-Riemanna.

Nie chce mi się sprawdzać rachunków, ale można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{\overline{\left( z-1\right)} }{\left|z-1 \right|^2}=\frac{\overline{\left( z-1\right)} }{\left( z-1 \right)\overline{\left( z-1\right)}}=\frac{1}{z-1}}\)

Wygląda, jakbyś przeoczył minus, który stoi przed \(\displaystyle{ i}\) w definicji \(\displaystyle{ f(z).}\) Jeśli go uwzględnisz, to równania staną się tożsamościowe, ale punkt \(\displaystyle{ (x, y) = (1, 0)}\) nie będzie należał do dziedziny.

Dziękuję bardzo. Teraz wszystko się zgadza.