Matematyka.pl

Mam do obliczenia poniższą całkę po łuku zamkniętym \(\displaystyle{ K(0,1)}\) Proszę o sprawdzenie.
\(\displaystyle{ \oint \frac{dz}{z^2+4}}\)

wyznaczam miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ z^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=-4}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=2i}\)
\(\displaystyle{ z _{2}=-2i}\)

korzystając z metdy residuów:
\(\displaystyle{ \oint_{K}^{} \frac{dz}{z^2+4}=2 \pi i\left(res\res_{ z_{1} \to2i } \frac{1}{\left( z-2i\right)\left( z+2i\right) } +res\res_{ z_{2} \to-2i } \frac{1}{\left( z+2i\right)\left( z-2i\right) } \right)}\)

wyliczam:
\(\displaystyle{ z^{2}+4=\left( z-2\right)\left( z+2\right)}\) \(\displaystyle{ \leftarrow}\) bieguny rzędu 1

\(\displaystyle{ res\res_{ z_{1} \to 2i} \frac{dz}{ z^{2}+4 }= \frac{1}{\left( 1-1\right)! } \lim_{ z\to -2i }\left( \frac{d}{dz} \right)^0\left[ \left( z-2i\right)^1 \cdot \frac{1}{z^2+4} \right]= \lim_{ z\to-2i } \frac{-2i}{z+4}}\)
Do tego miejsca robię to dobrze?-- 11 lut 2015, o 12:32 --Punkty \(\displaystyle{ z_{1}}\)i\(\displaystyle{ z_{2}}\) leżą poza okręgiem, więc co muszę zrobić z tą całką?

dave170 pisze: wyliczam:
\(\displaystyle{ z^{2}+4=\left( z-2\right)\left( z+2\right)}\) \(\displaystyle{ \leftarrow}\) bieguny rzędu 1

Tu się zaczynają błędy.

Wskazówka : W pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) koła \(\displaystyle{ \bar K(0,1)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z^2+4}}\) jest holomorficzna oraz \(\displaystyle{ \mathrm{Ind}_{\partial K(0,1)}(z)=0}\) dla \(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}\setminus \mathcal{U}}\). Skorzystaj z tw. Cauchy'ego-Dixona. ( lub zakładając b.s.o., że \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) jest obszarem gwieździstym można użyć klasycznego tw. Cauchy'ego.)