Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} |z|^2dz}\), gdzie krzywa \(\displaystyle{ \gamma :\left[ 0,1\right] \rightarrow \CC}\) dana jest wzorem:
a) \(\displaystyle{ \gamma (t)=1-t+ti}\)
b) \(\displaystyle{ \gamma (t)=e^{i\pi t/2}}\)
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) \(\displaystyle{ \gamma (t)=1-t+ti=z,dz=(-1+i)dt= \int_{0}^{1}((1-t)^2+t^2)(-1+i)dt=(-1+i) \int_{0}^{1}1-2t+2t^2dt=(-1+i)(t-t^2+2/3t^3)|_0^1=(-1+i)(2/3)=-2/3+2/3i}\)
b) \(\displaystyle{ \gamma (t)=e^{i\pi t/2}=z,dz=i\pi/2e^{i\pi t/2}dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}|e^{i\pi t/2}|^2i\pi/2 \cdot e^{i\pi t/2} dt= \int_{0}^{1}i\pi/2 \cdot e^{i\pi t/2}dt=i\pi /2 \cdot \frac{1}{i\pi /2} \cdot e^{i\pi t/2}|_0^1=i-1}\)
Czy tak jest dobrze?
