Weźmy dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) o ujemnych częściach rzeczywistych . Czy zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left| e^{z_1}-e^{z_2}\right| \le \left| z_1-z_2\right| }\)
Nierówność dla liczb rzeczywistych.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Nierówność dla liczb rzeczywistych.
Wskazówka: dla funkcji holomorficznej \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) spełniającej \(\displaystyle{ (\forall z \in D) \, |f'(z)| \le M}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |f(z_2) - f(z_1)| = \left| \int \limits_{z_1}^{z_2} f'(z) \, \dd z \right| \le \int \limits_{z_1}^{z_2} |f'(z)| \, |\dd z| \le M \int \limits_{z_1}^{z_2} |\dd z| = M |z_2-z_1|}\).
\(\displaystyle{ |f(z_2) - f(z_1)| = \left| \int \limits_{z_1}^{z_2} f'(z) \, \dd z \right| \le \int \limits_{z_1}^{z_2} |f'(z)| \, |\dd z| \le M \int \limits_{z_1}^{z_2} |\dd z| = M |z_2-z_1|}\).