Matematyka.pl

Mam następujący problem. Należy obliczyć granicę funkcji.
\(\displaystyle{ \lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z}}\)
Z moich obliczeń wynika, że granica nie istnieje jednak różne programy, w tym Wolfram pokazują, że wychodzi 1. Dlaczego?
Co za tym idzie, czy funkcja
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{Re(z)}{z}, \; z \neq 0\\1, z=0 \end{array}\right.}\)
jest ciągła?

Wstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Masz wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{\Re(z)}{z}=\frac{x}{x+iy}=\frac{x(x-iy)}{x^2+y^2}=\frac{x^2-xyi}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{x^2+y^2}+i\frac{-xy}{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{z} \Leftrightarrow \lim_{x,\to 0, y\to 0} \Re \left( \frac{\Re(z)}{z}\right) \wedge \lim_{x\to 0, y\to 0} \Im \left( \frac{\Re(z)}{z}\right) \Leftrightarrow \lim_{x\to 0, y\to 0} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right) \wedge \lim_{x\to 0, y\to 0} \left( \frac{-xy}{x^2+y^2}\right)}\)

A obie granice dążą do zera.

A co, gdy dążymy do zera po rzeczywistych?

-- 30 lis 2016, o 21:04 --

Ta granica nie istnieje. Wołam nie jest mistrzem, jeżeli chodzi o granice funkcji wielu zmiennych.

Wydaje mi się właśnie, że granice
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0, y\to 0} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0, y\to 0} \left( \frac{-xy}{x^2+y^2}\right)}\)
nie istnieją, ale nie byłam pewna właśnie przez Wolframa.
Dziękuję za pomoc.

Oczywiście, że nie istnieją, to ta widoczne jest. Zresztą można granice iterowane policzyć.

Oczywiście, że istnieją (bo to właśnie są granice iterowane i pierwsza wychodzi równa \(\displaystyle{ 1}\), a druga -równa \(\displaystyle{ 0}\)), ale nie są równe, co wyklucza istnienie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left(\frac{x^2}{x^2+y^2} \right)}\)

Oczywiście, że nie istnieją dotyczyło granic wyjściowych (nie iterowanych)