Matematyka.pl

Cześć wszystkim,

w jaki sposób udowodnić, że poniższe funkcje są holomorficzne?

\(\displaystyle{ f(x)=e^{-t}t^{s-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in \left[ \frac{1}{n},n\right] }\) dla \(\displaystyle{ \Re(s)>0}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(x)=\left( \frac{1}{n}\right)^s}\) dla \(\displaystyle{ s\in \CC}\) oraz \(\displaystyle{ n\in \NN}\)?

Próbowałem z definicji i z równań Cauchy'ego Riemanna, ale nic mi nie wyszło sensownego...

Argumentem funkcji miało być chyba \(\displaystyle{ s}\).
Niech \(\displaystyle{ s=x+i y}\).

\(\displaystyle{ f(s)=\left( \frac{1}{n} \right) ^s=\left( \frac{1}{n} \right) ^{x+i y} = \left( \frac{1}{n} \right)^x \left( \frac{1}{n} \right)^{i y}= \left( \frac{1}{n} \right)^x e^{\ln \left[ \left( \frac{1}{n} \right)^{i y} \right] } = \left( \frac{1}{n} \right)^x e^{i y \ln\left( \frac{1}{n} \right) } = \left( \frac{1}{n} \right)^x \cos\left( y \ln \frac{1}{n}\right) + i\left( \frac{1}{n} \right)^x\sin\left( y \ln \frac{1}{n} \right) = u(x, y)+i v(x, y)}\)
Czyli mamy część rzeczywistą i urojoną. Pochodne:
\(\displaystyle{ u_x=\ \ \ \left( \frac{1}{n} \right)^x \ln\left( \frac{1}{n} \right) \cos\left( y \ln \frac{1}{n}\right)}\)
\(\displaystyle{ u_y=-\left( \frac{1}{n} \right)^x \ln\left( \frac{1}{n} \right) \sin\left( y \ln \frac{1}{n}\right)}\)
\(\displaystyle{ v_x=\ \ \ \left( \frac{1}{n} \right)^x \ln\left( \frac{1}{n} \right) \sin\left( y \ln \frac{1}{n}\right)}\)
\(\displaystyle{ v_y=\ \ \ \left( \frac{1}{n} \right)^x \ln\left( \frac{1}{n} \right) \cos\left( y \ln \frac{1}{n}\right)}\)
Więc równania Cauchy'ego-Riemanna \(\displaystyle{ u_x=v_y}\) i \(\displaystyle{ v_x=-u_y}\) są spełnione.

\(\displaystyle{ f(x)=e^{-t} t^{s-1}=e^{-t}t^{-1}t^{x+i y}}\) i dalej podobniej jak w powyższym przykładzie.