\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{2z-1}{z+1} dz }\), gdzie C: \(\displaystyle{ \left| z \right|= 2 }\)
Według odpowiedzi, wynik to \(\displaystyle{ -6 \pi i}\), ale wychodzi mi inaczej i nie wiem, gdzie jest błąd, zamieszczam moje rozwiązanie:
Funkcja podcałkowa jest analityczna w domkniętym obszarze ograniczonym z zewnątrz C, a wewnątrz okręgami: \(\displaystyle{ k_{1} = -1 }\) oraz \(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1}{2} }\).
Czyli moja całka będzie równa: \(\displaystyle{ 0 + \int_{k _{1} }^{} \frac{2z-1}{z+1} + \int_{k _{2} }^{} \frac{2z-1}{z+1} }\)
Pierwsza całka (po \(\displaystyle{ k _{1} =-1}\)):
Wzór całkowy Cauchy'ego: \(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f(z) = 2z-1; z _{0} = -1; n = 0 }\)
czyli: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi i}{0!} * -1 = -2 \pi i }\)
Druga całka (po \(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1}{2} }\)):
Jeśli pierwsza całka jest dobrze, to tu powinno wyjść\(\displaystyle{ -4 \pi i}\).
Próbuję na różne sposoby, ale nie widzę możliwości, jak tu ma wyjść \(\displaystyle{ -4 \pi i}\), skoro \(\displaystyle{ z _{0} = \frac{1}{2} }\) i od tego \(\displaystyle{ z_{0}}\) zależy wynik.
Całka zespolona (Wzór całkowy Cauchy'ego) - problem z przekształceniem
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Całka zespolona (Wzór całkowy Cauchy'ego) - problem z przekształceniem
Nie jestem w stanie zrozumieć o czym tu mówisz. Brzmi to dość nieprawdziwie i (no offence) bezsensownie. Funkcja którą całkujesz jest meromorficzna i ma biegun \(\displaystyle{ z_0=-1}\). Ten biegun jest otoczony krzywą \(\displaystyle{ C}\) i jest pierwszego rzędu. Więc można zastosować tw Cauchy’ego dające
\(\displaystyle{ \oint_{C} \frac{\green{2z-1}}{\red{z+1}} \, \dd z= 2 \pi i \times \left( \green{2z-1}\right) \Big|_{z=-1}=-6 \pi i. }\)
Twoje rozważania nad \(\displaystyle{ 1/2}\) są dziwne i wyglądają tak jakbyś sądziła, że tam jest biegun? Tam nie ma punktu osobliwego.
-
forest99
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Całka zespolona (Wzór całkowy Cauchy'ego) - problem z przekształceniem
Nie było pojęcia funkcji mefomorficznej na wykładzie ani w zbiorze zadań Zdzisława Rojka "Matematyka - funkcje analityczne w zadaniach", z którego korzystamy. Staram się iść zgodnie z przykładami do rozdziału i tak, myślałam że w \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) jest biegun, bo licznik się dla tego punktu zeruje.
Co do wzoru całkowego, to już widzę że źle go zastosowałam, a co do \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) to w takim razie, tylko miejsca zerowe mianownika funkcji są biegunami?
Co do wzoru całkowego, to już widzę że źle go zastosowałam, a co do \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) to w takim razie, tylko miejsca zerowe mianownika funkcji są biegunami?
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Całka zespolona (Wzór całkowy Cauchy'ego) - problem z przekształceniem
Może nie był takiej nazwy ale pojęcie pewnie było. Funkcja mefomorficzna to taka która jest ładna poza pewnymi punktami \(\displaystyle{ \CC}\) . Bardziej formalnie jest to iloraz funkcji holomorficznych.
zerowanie się licznika to nic złego. Wtedy funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) (w tym przypadku).
Trudno mówić o poprawnym zastosowaniu wzoru całkowego do \(\displaystyle{ 1/2}\). Dla \(\displaystyle{ 1/2}\) ten wzór w ogóle się nie stosuje. Punkt \(\displaystyle{ 1/2}\) nie jest biegunem i w ogóle nie ma co go podstawiać do wzoru całkowego. Tak biegunami są miejsca zerowe mianownika. To tam występuje coś w rodzaju dzielenia przez \(\displaystyle{ 0}\) i to w ich okolicy funkcja jest nieograniczona.