Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \frac{ e^{z} }{(z ^{2} -4)}dz }\)
Po okręgu skierowanym dodatnio. Czy mogę z tw Cauchyego powiedzieć, że to krzywa Jordana i napisać, że \(\displaystyle{ 0}\)?

Po jakim dokładnie okręgu jest ta całka?

Po okręgu jednostkowym.

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu jeden, więc nadal nie wiadomo, gdzie jest środek okręgu.

A to coś od tego zależy? Ok, to jak dobrze pamiętam był \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}, 0) }\). Ja myślałam, że to niepotrzebna dana.

W takim razie nie możesz skorzystać z twierdzenia Cauchy'ego, bo funkcja \(\displaystyle{ \frac{e^z}{z^2-4}}\) nie jest holomorficzna (ani nawet określona) w kole \(\displaystyle{ \{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \sqrt{2} \right| < 1 \}}\) - punkt \(\displaystyle{ z = 2}\) w tym kole leży poza dziedziną funkcji.

Możesz za to skorzystać ze wzoru całkowego Cauchy'ego.

Można użyć twierdzenia Cauchy'ego, ale nie tego podstawowego, a tego o residuach.

\(\displaystyle{ z=2}\) jest biegunem prostym (stopnia pierwszego), więc residuum to
\(\displaystyle{ \lim_{z \to 2} (z-2)\frac{e^z}{z^2 - 4} = \lim_{z \to 2} (z-2)\frac{e^z}{(z+2)(z-2)} = \lim_{z \to 2} \frac{e^z}{z+2} = \frac{e^2}{4}}\)

To w połączeniu z twierdzeniem Cauchy'ego o residuach daje nam
\(\displaystyle{ \oint_C \frac{e^z}{z^2 - 4} dz = \frac{2\pi i e^2}{4} = \frac{\pi i e^2}{2}}\)
gdzie C to dodatnio skierowany okrąg jednostkowy wokół \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).