Całka zespolona po konturze

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
forest99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 11 razy

Całka zespolona po konturze

Post autor: forest99 »

\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} dz }\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest konturem \(\displaystyle{ x^2 + (y-1)^2 = 1}\)


Tak wygląda kontur:
Bez-tytu-u.png
Bez-tytu-u.png (2.14 KiB) Przejrzano 2979 razy
Obydwa punkty osobliwe (1 i 2) z niego wypadają.

\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} = \frac{1}{(z-1)(z+1)(z-2)} }\)

Chyba można ją obliczyć najłatwiej za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego, po podzieleniu całki na dwa obszary: dk1 i dk2? To znaczy tak bym robiła, gdybym wiedziała gdzie są punkty osobliwe wewnątrz. Bo domyślam się, że tw. podstawowego Cauchy'ego tutaj nie zastosuję.

W książce Żakowskiego jest łatwiejszy przykład, w którym bierze pod uwagę jeszcze \(\displaystyle{ i}\), ale w tym konkretnym przypadku nie wiem, jak to zrobić, ani czy w ogóle idę w dobrym kierunku.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: janusz47 »

Przedstawiamy funkcję podcałkową w postaci sumy ułamków prostrych.

Parametryzujemy równanie okręgu.

Obliczamy sumę całek.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: a4karo »

Jak znasz twierdzenie o residuach, to nic nie musisz liczyć
forest99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 11 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: forest99 »

Żeby obliczyć to metodą residuów, to też muszę znaleźć punkty osobliwe, a z tym mam problem w tym zadaniu
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: a4karo »

Przecież punkty osobliwe są tam gdzie mianownik się zeruje.
forest99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 11 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: forest99 »

Tak, tak jak w poście głównym jest napisane - to są z=1 i z=2, ale one leżą poza obszarem całkowania. A jeśli dobrze rozumiem, to żeby obliczyć metodą residuów, to tak jak we wzorze całkowym Cauchy'ego, muszę mieć punkt osobliwy wewnątrz obszaru?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: Dasio11 »

forest99 pisze: 27 lis 2022, o 12:39Bo domyślam się, że tw. podstawowego Cauchy'ego tutaj nie zastosuję.
A próbowałaś?

forest99 pisze: 27 lis 2022, o 15:55tak jak w poście głównym jest napisane - to są z=1 i z=2,
I jeszcze \(\displaystyle{ z=-1}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: arek1357 »

A jeśli dobrze rozumiem, to żeby obliczyć metodą residuów, to tak jak we wzorze całkowym Cauchy'ego, muszę mieć punkt osobliwy wewnątrz obszaru?
To źle rozumiesz///
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: janusz47 »

Z treści zadania wynika, że kontur \(\displaystyle{ C = |z-i| =1 }\) jest okręgiem jednostkowym o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0, i) }\)

Funkcja podcałkowa \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{ (z+1)(z-1)(z-2)} }\) jest analityczna z wyjątkiem punktów \(\displaystyle{ \ \ z_{1}=(-1,0), \ \ z_{2}= (1, 0), z_{3}= (0,2).}\)

Kontur \(\displaystyle{ C }\) może być ściągnięty do punktów \(\displaystyle{ z_{1}, \ \ z_{2}, \ \ z_{3}. }\)

\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{\Gamma} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{\Gamma} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{\Gamma}\frac{1}{3(z-2)}. }\)

Na podstawie twierdzenia Cauchy:

\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{dz}{z-a} = \begin{cases} 0, \ \ a\in \Gamma \\ 2\pi i, \ \ a \notin \Gamma. \end{cases} }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: a4karo »

forest99 pisze: 27 lis 2022, o 15:55
a4karo pisze: 27 lis 2022, o 15:48 Przecież punkty osobliwe są tam gdzie mianownik się zeruje.
Tak, tak jak w poście głównym jest napisane - to są z=1 i z=2, ale one leżą poza obszarem całkowania. A jeśli dobrze rozumiem, to żeby obliczyć metodą residuów, to tak jak we wzorze całkowym Cauchy'ego, muszę mieć punkt osobliwy wewnątrz obszaru?
Przeczytaj twierdzenie. Jak we wnętrzu obszaru nie ma residuów, to zadanie staje się banalnie proste.

Dla zdrowia psychicznego nie czytaj tego co pisze janusz47.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 18:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: arek1357 »

Kontur C może być ściągnięty do punktów \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}, z_{3}}\)
Jak można tego dokonać?

Dodano po 3 minutach 13 sekundach:
A co to za krzywa \(\displaystyle{ \Gamma}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: janusz47 »

Przyjmuje się, że kontur \(\displaystyle{ \Gamma }\) jest to kontur skierowany dodatnio (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) nie zawierający biegunów funkcji podcałkowej.

\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{C} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{C} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{C}\frac{1}{3(z-2)}= \frac{1}{6}2\pi i-\frac{1}{2}2\pi i + \frac{1}{3}2\pi i = 0.}\)

Obliczając każdą z całek po konturze \(\displaystyle{ \Gamma = C }\) otrzymujemy kolejno:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} +1} dt }\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ i+e^{it} +1 = u, }\)

\(\displaystyle{ i e^{it} = du, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{i+2}^{i+2} \frac{du}{u} = 0. }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -1} dt }\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ I+e^{it} -1 = v, }\)

\(\displaystyle{ i e^{it} = dv, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{i}^{i} \frac{dv}{v} = 0. }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{C}\frac{1}{z-2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -2} dt }\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ i+e^{it} -2 = s, }\)

\(\displaystyle{ i e^{it} = ds, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{i-1}^{i-1} \frac{ds}{s} = 0. }\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: arek1357 »

Wymiękam...
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: Janusz Tracz »

a4karo pisze: 27 lis 2022, o 13:29 Jak znasz twierdzenie o residuach, to nic nie musisz liczyć
Masz na myśli sumę pustą? W twierdzeniu o residuach suma przebiega indeksy punktów osobliwych wewnątrz krzywej tu takowych nie ma. Więc z twierdzenia o residuach
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} \, \dd z = 2\pi i\sum _{k\in \varnothing } \operatorname {Res} \Big( \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} ,k-\text{ty punkt osobliwy wewnątrz }C \Big) =0. }\)

Moim zdaniem w tym zadaniu trzeba jedynie stwierdzić, że założenia twierdzenia Cauchy’ego są spełnione (to co proponuje Dasio11). I nie mówię tu nawet o wzorze Cauchy’ego tylko o twierdzeniu podstawowym, gdzie mamy całkę z funkcji holomorficznej po krzywej zamkniętej.

@janusz47 zwykle trzymam język za zębami i się powstrzymuje się przed komentarzami. Tyma razem jednak zrobię wyjątek ponieważ uważam, że to co napisałeś w istotny sposób (niestety negatywny) oddziałuje na osoby uczące się tego tematu. Widać, że masz jakieś pojęcie o całkach zespolonych ale pisanie czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{dz}{z-a} = \begin{cases} 0, \ \ a\in \Gamma \\ 2\pi i, \ \ a \notin \Gamma. \end{cases}}\)
jest po prostu wprowadzaniem w błąd. Propozycja rozkładu na ułamki proste też jest raczej dziwna. Twierdzenie Cauchy’ego można stosować bez tego rozkładu.
forest99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 11 razy

Re: Całka zespolona po konturze

Post autor: forest99 »

To było zadanie z egzaminu, więc - może niesłusznie założyłam, że zadanie w którym można zastosować tw. podstawowe i nic nie liczyć, byłoby zbyt proste na egzamin.
Trochę wątpliwości wprowadził też przykład z książki, gdzie jest funkcja:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2+1} }\)
I ona na pierwszy rzut niedoświadczonego oka wygląda na funkcję bez biegunów, ale autor zapisuje ją jako: \(\displaystyle{ \frac{1}{(z-i)(z+i)} }\) i okazuje się że są osobliwości w \(\displaystyle{ i }\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).

Ponawiam więc pytanie z głównego posta: jak znaleźć wszystkie bieguny tego typu funkcji zespolonej?
Czy taki schemat postępowania jest poprawny:
1. Zapisuję funkcję w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ z^3 - 2z^2 - z + 2}\)
2. Wielomian jest stopnia 3, więc jeśli znalazłam już 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ z_{0} =1}\), \(\displaystyle{ z_{0}=-1}\) i \(\displaystyle{ z_{0}=2}\), to mam już pewność, że to wszystkie bieguny
3. Jeśli nie, to stosuję algorytmy pierwiastkowe dla wielomianu 3 stopnia - algorytm Ferro? https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index26.html
ODPOWIEDZ