Całka po konturze

forest99 · Post autor: **forest99** » 8 gru 2022, o 18:14

Proszę o pomoc, w którym miejscu popełniam błąd?

\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{dz}{(z ^{9} + 9) ^{2} } }\) po konturze \(\displaystyle{ \left| z-3i \right| =1}\)

\(\displaystyle{ Res(z=3i) = \lim_{z \to 3i} \frac{d}{dz} (z-3i) ^{2} \frac{1}{(z-3i) ^{2} (z+3i) ^{2} } = \lim_{z \to 3i} \frac{d}{dz} (z+3i) ^{-2} = \lim_{z \to 3i} - \frac{2}{(z+3i) ^{3} } = - \frac{2}{(6i) ^{3} } = - \frac{i}{108} }\)

\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{dz}{(z ^{9} + 9) ^{2} } = 2 \pi i \cdot\left( - \frac{i}{108}\right) = - \frac{ \pi }{54} }\)

Post autor: **Dasio11** » 8 gru 2022, o 21:48

Na pewno w mianowniku jest \(\displaystyle{ z^9}\) ?

forest99 · Post autor: **forest99** » 9 gru 2022, o 08:34

Miało być:
\(\displaystyle{ \frac{1}{( z^{2} + 9) ^{2}} }\)
ale nie widzę możliwości edycji posta

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 9 gru 2022, o 09:39

\(\displaystyle{ ... = -\frac{i}{54}. }\)

\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{dz}{(z ^2 + 9)^2} = 2 \pi i \left(-\frac{i}{54}\right) = \frac{\pi }{27}. }\)

forest99 · Post autor: **forest99** » 9 gru 2022, o 14:41

Ale według odpowiedzi prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{54} }\).

Post autor: **Dasio11** » 9 gru 2022, o 15:11

Błąd jest tu:

forest99 pisze: ↑8 gru 2022, o 18:14\(\displaystyle{ 2 \pi i \cdot\left( - \frac{i}{108}\right) = - \frac{ \pi }{54} }\)

Matematyka.pl

Całka po konturze

Całka po konturze

Re: Całka po konturze

Re: Całka po konturze

Re: Całka po konturze

Re: Całka po konturze

Re: Całka po konturze