Matematyka.pl

Widzialam gdzies rozwiazanie rownania \(\displaystyle{ 1^x=2}\). Intuicyjnie wydaje sie absurdalne, ze 1 podniesiona do jakiejs potegi da liczbe o module wiekszym niz 1. Ogolne rozwiazanie wyszlo \(\displaystyle{ -\frac{i\ln 2}{2k\pi}, ~k\in\mathbb{Z}, k\neq 0}\).

Jesli wezmiemy, celem sprawdzenia, \(\displaystyle{ k=1}\), to otrzymamy, z definicji zespolonej potegi

\(\displaystyle{ 1^{-\frac{i\ln 2}{2\pi}} = e^{-i\frac{\ln 2}{2\pi}(\ln|1|+i\operatorname{arg} 1)}}\)

I to wyrazenie jest istotnie rowne 2, jesli przyjmiemy, ze \(\displaystyle{ \operatorname{arg}1=2\pi}\), czyli taka wlasnie galaz logarytmu.
Wiec wyglada na to, ze intuicja zawodzi. Czy moze jednak jest tu gdzies blad?

\(\displaystyle{
1^{-\frac{i\ln(2)}{2k\pi}} = \left(1^i\right)^{-\frac{\ln 2}{2k\pi}} = \left( \left(e^{2ik\pi} \right)^i \right)^{-\frac{\ln 2}{2k \pi}} = \left(e^{-2k\pi}\right)^{-\frac{\ln 2}{2k\pi}} = e^{\ln2} = 2
}\)

wygląda ok

Nie, to tak nie dziala, potega potegi to nie jest rowna iloczynowi poteg. W ostatniej rownosci podanej przeze mnie wychodzi jednak 2 i nie widze tam bledu, co jednak mnie niepokoi )))

Każda wartość \(\displaystyle{ \log 1}\) daje pewien wariant funkcji \(\displaystyle{ 1^x}\), mianowicie gdy \(\displaystyle{ \log 1 = 2k \pi i}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), to \(\displaystyle{ 1^x = e^{x \log 1} = e^{2 k \pi i \cdot x}}\). Odpowiadające temu wariantowi rozwiązania równania \(\displaystyle{ 1^x = 2}\) to

\(\displaystyle{ x_j = \frac{j}{k} - \frac{i \ln 2}{2k \pi}}\) dla \(\displaystyle{ j \in \mathbb{Z}}\)

(gdy \(\displaystyle{ k = 0}\), rozwiązań nie ma). W szczególności jednym z rozwiązań jest to, które podajesz - nie ma w tym błędu.

Ogólnie skoro \(\displaystyle{ 1^x = e^{x \log 1}}\), to wszystkie warianty oprócz \(\displaystyle{ k \neq 0}\) przyjmują każdą wartość ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\).