Matematyka.pl

Witam, jak obliczyć wartość średnią napięcia na kondensatorze w obwodzie RC, przy sygnale wejściowym prostokątnym, na zajęciach podano nam równanie:
\(\displaystyle{ V _{śr}= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}V(t)dt}\)
i tak, dla \(\displaystyle{ 0<t< \frac{T}{2}}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot \left( 1-e ^{- \frac{t}{RC} } \right)}\) ładowanie kondensatora
dla\(\displaystyle{ \frac{T}{2}<t<T}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot e ^{- \frac{t}{RC} }}\) rozładowanie kondensatora
Czyli podstawiając do równania:

\(\displaystyle{ V _{śr}= \frac{1}{T}\left( \int_{0}^{ \frac{T}{2} }E\left( 1-e ^{- \frac{t}{RC} } \right)dt+ \int_{ \frac{T}{2} }^{T} E \cdot e ^{- \frac{t}{RC} } dt \right)}\)
i jak to rozwiązać, chodzi o to że jeszcze nie przerabialiśmy całek, a potrzebuję to na laboratoria obliczyć, E=3V T=150us

Jeśli całki nie były jeszcze omawiane, a na innych zajęciach są one wymagane, nie widzę innej alternatywy niż wcześniejsze nauczenie się całkowania. Jeśli omówiono już pochodne, nie powinno to być trudne.

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{E}{T}\left( \int_{0}^{ \frac{T}{2} }-e ^{- \frac{t}{RC} }dt+ \int_{ \frac{T}{2} }^{T}e ^{- \frac{t}{RC} } dt \right)}\)

\(\displaystyle{ RC=15 \cdot 10 ^{-6}\left[ s\right]}\)
\(\displaystyle{ T=150\left[ \mu s \right]}\)
\(\displaystyle{ E=3\left[ V\right]}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e ^{x}dx=e ^{x}}\)

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{E}{T}\left( \left[-e ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{0} ^{ \frac{T}{2} }+\left[ e ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{ \frac{T}{2} } ^{T} \right)}\)

Dobrze?

Zadaj sobie pytanie, czego pochodną jest funkcja podcałkowa, czyli \(\displaystyle{ e^{-\frac{t}{RC}}}\). Możesz zróżniczkować wynik całkowania funkcji, aby sprawdzić, czy jest on poprawny.

Tak więc, od początku:

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}V(t)dt}\)
i tak, dla
\(\displaystyle{ \ \ 0<t< \frac{T}{2}}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot \left( 1-e ^{- \frac{t}{RC} } \right) \ \ \ ladowanie \ kondensatora}\)
dla
\(\displaystyle{ \ \ \frac{T}{2}<t<T}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot e ^{- \frac{t}{RC} } \ \ \ rozladowanie \ kondensatora}\)
Czyli podstawiając do równania:

\(\displaystyle{ V _{śr}= \frac{1}{T}\left( \int_{0}^{ \frac{T}{2} }E\left( 1-e ^{- \frac{t}{RC} } \right)dt+ \int_{ \frac{T}{2} }^{T} E \cdot e ^{- \frac{t}{RC} } dt \right)}\)

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{E}{T}\left( \int_{0}^{ \frac{T}{2} }1-e ^{- \frac{t}{RC} }dt+ \int_{ \frac{T}{2} }^{T}e ^{- \frac{t}{RC} } dt \right)= \frac{E}{T}\left( \int_{0}^{ \frac{T}{2} }1 \ dt - \int_{0}^{ \frac{T}{2} }e ^{- \frac{t}{RC} }dt+ \int_{ \frac{T}{2} }^{T}e ^{ -\frac{t}{RC} }dt \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \int_{}^{} 1dt=t\right) \ \ bo \ \ \left( t'=1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( \int_{}^{} e ^{- \frac{t}{RC} }=-RCe ^{- \frac{t}{RC} }\right) \ \ bo \ \left( \left( -RCe ^{- \frac{t}{RC} } \right)'=e ^{- \frac{t}{RC} } \right)}\)

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{E}{T}\left( \left[ t\right] _{0} ^{ \frac{T}{2} } -\left[ -RCe ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{0} ^{ \frac{T}{2} }+\left[ -RCe ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{ \frac{T}{2} } ^{T} \right)= \frac{E}{T}\left( \left[ t\right] _{0} ^{ \frac{T}{2} }+RC\left(\left[ e ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{0} ^{ \frac{T}{2} }+\left[ e ^{- \frac{t}{RC} } \right] _{ \frac{T}{2} } ^{T} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ V _{sr}= \frac{E}{T}\left( \left[ t\right] _{0} ^{ \frac{T}{2} }+RC\left( \left[ e ^{0}+e ^{- \frac{ \frac{T}{2} }{RC} } \right]+\left[ e ^{- \frac{ \frac{T}{2} }{RC} }+e ^{- \frac{T}{RC} } \right] \right) \right)}\)

Czy teraz dobrze? Do tego mogę podstawiać już wartości. Końcówki nie jestem pewien, czy można tak wyciągać przed nawias? Jednostki by się zgadzały, w nawiasie będą sekundy, pomnożone przez volt/sekundę da volt.

Może za późno ale się "wtrącę".

kupspejn pisze:Witam, jak obliczyć wartość średnią napięcia na kondensatorze w obwodzie RC, przy sygnale wejściowym prostokątnym

Rozumiem, że ten "sygnał wejściowy" to po prostu napięcie zasilające dwójnik \(\displaystyle{ RC}\)?
Jeśli tak, to trzeba dokładnie zdefiniować ten "sygnał wejściowy". Potem trzeba poszukać "odpowiedzi" w postaci przebiegu napięcia na kondensatorze.

kupspejn pisze: i tak, dla \(\displaystyle{ 0<t< \frac{T}{2}}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot \left( 1-e ^{- \frac{t}{RC} } \right)}\) ładowanie kondensatora
dla\(\displaystyle{ \frac{T}{2}<t<T}\)
\(\displaystyle{ V(t)=E \cdot e ^{- \frac{t}{RC} }}\) rozładowanie kondensatora

Co to jest \(\displaystyle{ E}\)? Wiadomo... napięcie... ale jakie?
Jeśli przyjąć, że \(\displaystyle{ V(t)}\) (zdefiniowane powyżej) jest przebiegiem napięcia na kondensatorze, to coś tu nie gra. Przebieg napięcia na kondensatorze powinien być ciągły.

Biorąc pod uwagę fragment "przebiegu ładowania" (nazwijmy go \(\displaystyle{ V_1(t)}\)):
\(\displaystyle{ V_1 \left( \frac{T}{2}\right) =E \cdot \left( 1-e ^{- \frac{T}{2RC} } \right)}\)

Z drugiej strony, biorąc pod uwagę fragment "przebiegu rozładowania" (nazwijmy go \(\displaystyle{ V_2(t)}\)):
\(\displaystyle{ V_2 \left( \frac{T}{2}\right) =E \cdot e ^{- \frac{T}{2RC} }}\)

Z tego co widzę, to:
\(\displaystyle{ V_1 \left( \frac{T}{2}\right) \neq V_2 \left( \frac{T}{2}\right)}\)
Brak ciągłości!
No... chyba, że źle widzę

-- 8 gru 2013, o 12:42 --

Nawiasem mówiąc, wartość średnia napięcia na elemencie \(\displaystyle{ C}\) w dwójniku szeregowym \(\displaystyle{ RC}\) jest równa wartości średniej napięcia zasilającego ten dwójnik.