Matematyka.pl

Hej,
w obwodzie znajduje się źródło steorwane i nie za bardzo wiem jak sobie z tym pordzić. Byłbym wdzięczny za tłumaczenie i najlepiej jakieś rysunki do tego.

W podanym obwodzie trzeba znaleźć źródło Thevenina i \(\displaystyle{ R_{T}}\)
\(\displaystyle{ I_0 = 0.004A\\
R_1=850\Omega\\
R_2=750\Omega\\
\alpha = 4 \Omega}\)

Tak wygląda obwód:

Chodzi o to żeby za pomocą twierdzenia Thevenina sprowadzić obwód na rysunku do obwodu jedno oczkowego z zastępczym źródłem obwodu i jego rezystancją tak?

Ja to robiłem w celu aby wyznaczyć moc na danym elemencie obwodu.

Aby wyprowadzić rezystancję zastępczą to zwierasz źródła napięciowe a rozwierasz prądowe i patrzysz jak rezystorki są połączone względem elementu który cię interesuje.

Natomiast zastępcze źródło liczysz na zaciskach tego elementu z praw kirchoffa (ja preferuje metodę potencjałów węzłowych)

Simon86 pisze:Aby wyprowadzić rezystancję zastępczą to zwierasz źródła napięciowe a rozwierasz prądowe i patrzysz jak rezystorki są połączone względem elementu który cię interesuje.

W przypadku, gdy obwód zawiera źródła sterowane (zależne), sprawa się komplikuje:

Dwójnik liniowy zawierający źródła niezależne można zastąpić dwójnikiem równoważnym złożonym z szeregowego połączonego jednego niezależnego źródła napięcia, równego napięciu dwójnika przy rozwartych zaciskach, i dwójnika bez źródeł niezależnych.
Dwójnik bez źródeł niezależnych otrzymuje się z dwójnika oryginalnego przez zastąpienie niezależnych źródeł napięcia zwarciami, a niezależnych źródeł prądu - rozwarciami; źródła sterowane pozostają!!!!

Przykład rozwiązany bez źródeł sterowanych znajdziesz tutaj:
Przykład zastosowania Tw. Thevenina

wiem jak to się liczy przy źródłach niezależnych, ale jak rozwiązać ten przykład?

Żeby obliczyć napięcie \(\displaystyle{ E_T}\) zastępczego źródła, rozwiązać należy następujący obwód:



Piszemy równania "NPK" i "PPK", rozwiązujemy je (w tym wypadku wystarczy wyznaczenie prądu \(\displaystyle{ i_2}\)) i otrzymujemy napięcie: \(\displaystyle{ E_T=R_2i_2}\)
Różnicy, pomiędzy postępowaniem w przypadku obliczania napięcia \(\displaystyle{ E_T}\) zastępczego źródła napięcia dla obwodu ze źródłami sterowanymi a dla obwodu bez źródeł sterowanych, po prostu nie ma.

Różnica pojawia się na etapie obliczania rezystancji \(\displaystyle{ R_T}\) zastępczego źródła. Aby obliczyć tą rezystancję, trzeba rozwiązać obwód następujący (uzyskany przez rozwarcie źródła prądowego; sterowane źródło napięciowe pozostawiamy):



Dołączamy pomocnicze źródło napięcia \(\displaystyle{ E_p}\) do wyróżnionych zacisków obwodu i... że tak powiem... "badamy" jaki prąd \(\displaystyle{ i_p}\) wywoła to pomocnicze źródło napięcia. Piszemy równania "NPK" i "PPK", wyznaczamy prąd \(\displaystyle{ i_p}\). Rezystancję \(\displaystyle{ R_T}\) zastępczego źródła obliczamy jako:
\(\displaystyle{ R_T=\frac{E_p}{i_p}}\)

Niestety nie pomogą nam tutaj żadne wzory na rezystancję zastępczą połączenia równoległego, szeregowego (czy jeszcze innego) rezystorów.

to źródło \(\displaystyle{ E_p}\) może mieć dowloną wartość?

Ser Cubus pisze:to źródło \(\displaystyle{ E_p}\) może mieć dowloną wartość?

Jasne, że tak... ale przecież i tak działamy na symbolach. Obwód jest liniowy (tylko dla takiego Tw Thevenina jest słuszne) w związku z tym prąd \(\displaystyle{ i_p}\) wymuszony przez napięcie \(\displaystyle{ E_p}\) będzie wprost proporcjonalny do tego napięcia (tym współczynnikiem proporcjonalności jest właśnie rezystancja \(\displaystyle{ R_T}\) zastępczego źródła).

Zastępujemy źródło prądowe \(\displaystyle{ (I _{0},G _{0} )}\) źródłem napięciowym \(\displaystyle{ (U _{0},R _{0})}\)
Powstaje prosty jednooczkowy obwód zawierający dwa źródła napięcia \(\displaystyle{ (U _{0},U _{ \alpha } )}\) oraz dwa rezystory \(\displaystyle{ R _{0},R _{2}}\)

\(\displaystyle{ U _{0}=I _{0} \cdot R _{1}=3.4V}\)
\(\displaystyle{ R _{0}=R _{1}=850 \Omega}\)
\(\displaystyle{ U _{ \alpha }=4 \cdot i=4(I _{0}-I _{2} )}\), gdzie \(\displaystyle{ I _{0}=0.004 A}\)
\(\displaystyle{ R _{2}=750 \Omega}\)

Źródło napięciowe Thevenina wyznaczamy przy pomocy równania Kirchhoffa_II

\(\displaystyle{ U _{0}+4(I _{0}-I _{2}) = I _{2}(R _{0}+R _{2} ), \Rightarrow}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ I _{2}=0.00213A}\)
Zatem
\(\displaystyle{ E _{T}=I _{2} \cdot R _{2} = 1.5972 V}\)

Rezystancję wewnętrzną źródła Thevenina wyznaczamy zwierając w obwodzie źródła napięciowe \(\displaystyle{ (U _{0}, U _{ \alpha } )}\)
Otrzymujemy,
\(\displaystyle{ R _{T}=R _{0} \parallel R _{2}=398.4375 \Omega}\)

Rozwiązanie tego zadania:

\(\displaystyle{ R_T=\frac{R_2\left( R_1+\alpha\right) }{R_2+R_1+\alpha} \approx 399,31 \ \Omega}\)

\(\displaystyle{ E_T=\frac{R_2\left( R_1+\alpha\right) }{R_2+R_1+\alpha}I_o \approx 1,5973 \ \text{V}}\)

alek160 pisze: Rezystancję wewnętrzną źródła Thevenina wyznaczamy zwierając w obwodzie źródła napięciowe \(\displaystyle{ (U _{0}, U _{ \alpha } )}\)
Otrzymujemy,
\(\displaystyle{ R _{T}=R _{0} \parallel R _{2}=398.4375 \Omega}\)

alek160 nie wolno zwierać w obwodzie sterowanych źródeł napięcia.
\(\displaystyle{ R _{T} \neq R _{0} \parallel R _{2}}\)-- 19 sie 2013, o 01:50 --Aby wyznaczyć rezystancję \(\displaystyle{ R_T}\) zastępczego źródła napięcia, można jeszcze inaczej postępować. Po uprzednim obliczeniu napięcia \(\displaystyle{ E_T}\), zwieramy obwód, tak jak to przedstawia poniższy rysunek:



... i obliczamy prąd zwarcia \(\displaystyle{ i_z}\). Potem rezystancję \(\displaystyle{ R_T}\) zastępczego źródła liczymy ze wzoru:

\(\displaystyle{ R_T=\frac{E_T}{i_z}}\)

Uzasadnienie takiego postępowania jest bardzo proste.

Wpis do kolegi 'mdd'
Uprzedziłeś mnie ostatnim uzupełnieniem wpisu.
Zastosowałeś metodę 'nie wprost' wyznaczenia rezystancji zastępczej Thevenina. Wg mnie, to jest właściwe podejście do zastosowania metody Thevenina przy rozwiązywaniu obwodów, w których występują źródła sterowane. Pozwolę sobie na uzupełnienie tej metody.

1. Obliczenie źródła napięcia \(\displaystyle{ E _{T}}\) - przedstawiłem w moim wpisie w dniu 18.08.2013r
\(\displaystyle{ I _{0}R _{1}+ \alpha (I _{0}-I _{2})=I _{2}(R _{1}+R _{2})}\)
- po przekształceniu otrzymujemy prąd w rezystorze \(\displaystyle{ R _{2}}\)
\(\displaystyle{ I _{2}= \frac{I _{0}(R _{1}+ \alpha ) }{R _{1}+R _{2}+ \alpha }}\)
- źródło Thevenina
\(\displaystyle{ E _{T}=I _{2}R _{2}= \frac{I _{0}R _{2}(R _{1}+ \alpha )}{R _{1}+R _{2}+ \alpha }=1.59725686 V}\)

2. Prąd zwarcia obwodu - równanie.
\(\displaystyle{ I _{0}R _{1}-I _{zw}R _{1}+ \alpha (I _{0}-I _{zw})=0}\)
- po przekształceniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ I _{zw}=I _{0}=0.004A}\)

3. Rezystancja zastępcza Thevenina - metoda 'nie wprost'
\(\displaystyle{ R _{T}= \frac{E _{T} }{I _{zw}}= \frac{R _{2}(R _{1}+ \alpha ) }{R _{1}+R _{2}+ \alpha }= 399.314215 \Omega}\)
W tej metodzie nie musimy się martwić o źródła sterowane.

Na zakończenie dodatkowy komentarz.
W poprzednim wpisie zaproponowałem rozwiązanie zadania opierając się ściśle o twierdzenie Thevenina. Według tego twierdzenia rezystancja wewnętrzna \(\displaystyle{ R _{T}}\) źródła zastępczego równa się rezystancji dwójnika po usunięciu wszystkich źródeł energii. Nazwa 'usunięcie źródeł energii' oznacza zwarcie wszystkich idealnych źródeł napięcia i rozwarcie wszystkich gałęzi zawierających idealne źródła prądu. Zatem jeśli usuniemy źródło prądu \(\displaystyle{ (I _{0})}\) to w konsekwencji tracimy fizyczny sens elementu \(\displaystyle{ (U _{ \alpha }= \alpha \cdot i)}\). W strukturze tego elementu znajduje się czynnik energii, który właśnie został usunięty. W moim rozwiązaniu usunąłem ten element, a Ty przyjąłeś skupioną rezystancję \(\displaystyle{ R _{ \alpha }=4 \Omega}\), tzn że przyjąłeś prąd \(\displaystyle{ (i=1)}\). Jednocześnie pouczyłeś mnie, że w metodzie Thevenina nie wolno zwierać sterowanych źródeł napięcia. Oczywiście dziękuję za pouczenie. Mam jednak dylemat, nie wiem jak mam skorzystać z pouczenia, skoro w twierdzeniu Thevenina nie ma odniesienia do źródeł sterowanych. Ten właśnie szczegół zachęcił mnie do wsparcia metody 'nie wprost' przy obliczaniu rezystancji \(\displaystyle{ R _{T}}\), którą to metodę zaproponowałeś w uzupełnieniu wpisu. Należy też dodać, że jest to metoda powszechnie stosowana.
Pozdrawiam z Brazylii

alek160 pisze: Jednocześnie pouczyłeś mnie, że w metodzie Thevenina nie wolno zwierać sterowanych źródeł napięcia. Oczywiście dziękuję za pouczenie. Mam jednak dylemat, nie wiem jak mam skorzystać z pouczenia, skoro w twierdzeniu Thevenina nie ma odniesienia do źródeł sterowanych.

Można zaproponować uogólnione Tw. Thevenina (przytoczę je jeszcze raz):

Dwójnik liniowy zawierający źródła niezależne można zastąpić dwójnikiem równoważnym złożonym z:
1) szeregowo połączonego jednego niezależnego źródła napięcia, równego napięciu dwójnika przy rozwartych zaciskach,
2) dwójnika bez źródeł niezależnych.

Dwójnik bez źródeł niezależnych otrzymuje się z dwójnika oryginalnego przez:
1) zastąpienie niezależnych źródeł napięcia zwarciami,
2) a niezależnych źródeł prądu - rozwarciami;
źródła sterowane pozostają!!!!

Jak to wykorzystać? Ta metoda 'nie wprost' (nie wiedziałem, że to się tak nazywa , nigdzie takiej nazwy nie spotkałem szczerze mówiąc) jest chyba najbardziej elegancka. Można też (jak to zaproponowałem wcześniej) zastosować trochę sztuczny chwyt, polegający na podłączeniu jakiegoś "umyślonego" pomocniczego źródła napięcia do naszego liniowego dwójnika, i obliczeniu jaki prąd to źródło pomocnicze wymusi. Ze stosunku obu wartości obliczamy szukaną rezystancję zastępczego źródła. Wzmiankę o obydwu metodach można znaleźć .

Nie wiem, czy (1857-1926) znał pojęcie źródła sterowanego. Nie wiem też, kiedy źródło sterowane zostało wprowadzone jako jeden z podstawowych elementów... czy przy okazji wynalazku [url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Lampa_elektronowa]lamp elektronowych[/url]? czy może dopiero przy okazji wynalazku tranzystora (po to by móc budować modele tych elementów). Ciekawe jak Thevenin sformułował swoje twierdzenie w swojej pierwszej pracy - niestety chyba po francusku .

Pozdrowienia z Polski

trochę się rozpisaliście teraz nie mam czasu, wieczorem postaram się przeanalizować to co pisaliście, ale już teraz widzę, że zamieniliście źródło sterowane na rezystor, słyszałem o tym, ale nie wiem o co w tym dokładnie chodzi

Kontynuując.

alek160 pisze:Zatem jeśli usuniemy źródło prądu \(\displaystyle{ (I _{0})}\) to w konsekwencji tracimy fizyczny sens elementu \(\displaystyle{ (U _{ \alpha }= \alpha \cdot i)}\).

Nie tracimy. Źródło napięcia jest sterowane prądem rezystora \(\displaystyle{ R_1}\), a nie prądem źródła prądu.

alek160 pisze:W moim rozwiązaniu usunąłem ten element, a Ty przyjąłeś skupioną rezystancję \(\displaystyle{ R _{ \alpha }=4 \Omega}\), tzn że przyjąłeś prąd \(\displaystyle{ (i=1)}\).

To jakieś nieporozumienie. Żadnych takich założeń nie robiłem. Wszystko co założyłem jest wyraźnie napisane. A to, że w rozwiązaniu końcowym współczynnik \(\displaystyle{ \alpha}\) wygląda tak jak rezystancja, to tylko zbieg okoliczności zinterpretowany przez Ciebie w ten sposób.
Sterowane źródło napięcia nie jest źródłem energii jakby samoistnym. Do zaistnienia potrzebuje pobudzenia z zewnątrz. Jest źródłem "wtórnym". Gdyby w rozważanym obwodzie nie było źródła prądu \(\displaystyle{ I_o}\) a do zacisków wyjściowych obwodu nie był przyłączony jakiś inny obwód, w którym są niezależne źródła energii, to źródło sterowane \(\displaystyle{ \alpha i_1}\) by nie wydawało energii ani też by nie pobierało; po prostu byłoby zupełnie "martwe". W tym sensie nasze sterowane źródło napięcia zachowuje się jak rezystor o dodatniej bądź ujemnej rezystancji... ujemnej, bo gdyby w naszym obwodzie zwrot sterowanego źródła napięcia odwrócić, to zastępcze źródło napięcia miałoby parametry:
\(\displaystyle{ R_T=\frac{R_2\left( R_1-\alpha\right) }{R_2+R_1-\alpha}}\)
\(\displaystyle{ E_T=\frac{R_2\left( R_1-\alpha\right) }{R_2+R_1-\alpha}I_o}\)

Żeby zwrócić uwagę na to, że ta cała metoda Thevenina to tylko Prawa Kirchhoffa + zwykła matematyka (i do tego całkiem prosta) a nie żadne czary mary, i żeby uniknąć jakichś nadinterpretacji fizycznych (do których można mieć skłonność), które prowadzą nas na manowce, zaprezentuję coś jeszcze.

Parametry \(\displaystyle{ E_T, \ R_T}\) zastępczego źródła Thevenina można znaleźć w bardziej fundamentalny sposób. Proste podejście (bez uwzględnienia żadnych "chwytów specjalnych").
Zauważmy, że dla obwodu jak na poniższym rysunku:



... możemy napisać równanie (wynikające z NPK):

\(\displaystyle{ E_T-R_T \cdot I=U \qquad \leftarrow \qquad (1)}\)

Z kolei dla poniższego układu:



...zapisujemy układ równań (wynikających z NPK, PPK):

\(\displaystyle{ \begin{cases} R_1i_1+ \alpha i_1-R_2i_2=0\\ i_1+i_3=I_o\\ i_3=I+i_2\\U=R_2i_2 \end{cases} \Rightarrow \frac{R_2\left( R_1+\alpha \right)I_o }{R_2+R_1+ \alpha}-\frac{R_2\left( R_1+\alpha \right) }{R_2+R_1+ \alpha} \cdot I=U \qquad \leftarrow (2)}\)

Porównując \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (2)}\) jest oczywiste jakie są parametry zastępczego źródła napięcia. Proste, klarowne i z pewnością nie budzące naszych wątpliwości.

mdd, alek160, dziękuję za pomoc. Mam jeszcze jedno pytanie, mogłby któryś z was wskazać błąd w moim zapisie?

NPK i PPK można zapisać naraz jako 'metoda węzłowa'

Tak sobie zastrzałkowałem obwód:


W sumie mam 3 węzły, 1 równanie jest zawsze zależne, czyli można je pominąc, jako że tutaj mamy źródło napięciowe to wystarczy zapisać równanie tylko dla jednego węzła ( czy tak ? ).

Tutaj jest moje równanie dla węzła uziemienia, czy jest to poprawnie zapisane czy może po prostu zrobiłem błąd w rachunkach?
\(\displaystyle{ -I_0 + \frac{-e}{R_1} - \frac{\alpha i - e}{R_2} = 0}\)

Ser Cubus pisze: W sumie mam 3 węzły, 1 równanie jest zawsze zależne, czyli można je pominąc, jako że tutaj mamy źródło napięciowe to wystarczy zapisać równanie tylko dla jednego węzła ( czy tak ? ).

Obwód rozwiązywany posiada:
- trzy gałęzie (gałąź ze źródłem \(\displaystyle{ I_o}\), gałąź z elementem \(\displaystyle{ R_1}\), gałąź ze sterowanym źródłem napięcia \(\displaystyle{ \alpha i_1}\) i elementem \(\displaystyle{ R_2}\));
-dwa oczka;
-dwa węzły.

Ser Cubus pisze:(...) jako że tutaj mamy źródło napięciowe to wystarczy zapisać równanie tylko dla jednego węzła ( czy tak ? ).

Owszem, wystarczy zapisać równanie dla jednego węzła (tego u dołu, z potencjałem \(\displaystyle{ e}\)) ale ponieważ to źródło napięcia jest źródłem sterowanym to trzeba uzupełnić je jeszcze jednym równaniem.

Dla obwodów ze źródłami sterowanymi, formułowanie równań metody węzłowej składa się z dwóch etapów:
- w pierwszym etapie zapisujemy równania metody węzłowej tak jak dla obwodów bez źródeł sterowanych
- w drugim etapie dopisujemy równania uzależniające źródła sterowane od potencjałów węzłowych

Ser Cubus pisze: Tutaj jest moje równanie dla węzła uziemienia, czy jest to poprawnie zapisane czy może po prostu zrobiłem błąd w rachunkach?
\(\displaystyle{ -I_0 + \frac{-e}{R_1} - \frac{\alpha i - e}{R_2} = 0}\)

Po pierwsze: jeśli masz problem z metodą oczkową czy też węzłową, to polecam prezentację Wykład 4 - Metody analizy (Power Point) na stronie , w "Dodatkach" (Menu po lewej stronie). Dostępne, więc można korzystać

Po drugie. Jeśli uparłeś się na metodę węzłową do rozwiązania tego prostego obwodu, to ok, dlaczego nie! Osobiście uważam, że jeśli masz możliwość wyboru, to w tak prostych przypadkach równania NPK i PPK wystarczą - ilość niewiadomych jest tak mała, że korzyści wynikające z redukcji ilości równań obwodu przy stosowaniu metody węzłowej (czy też oczkowej) są właściwie żadne.
Po trzecie Równanie, które zapisałeś nie jest nieprawdziwe. Jeśli zapiszesz równania NPK i PPK i pomajstrujesz przy nich, to dojdziesz właśnie do powyższego równania. Metoda węzłowa (również oczkowa), ma pewien charakterystyczny dla siebie sposób zapisu takich równań. Sposób zapisu tego równania: \(\displaystyle{ -I_0 + \frac{-e}{R_1} - \frac{\alpha i - e}{R_2} = 0}\) nie wygląda mi na taki

To równanie raczej powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \left( G_1+G_2\right)e=-I_o+\alpha i_1 G_2}\)

gdzie: \(\displaystyle{ G_1=\frac{1}{R_1}, \ G_2=\frac{1}{R_2}}\)

Równanie powyższe zawiera dwie niewiadome: \(\displaystyle{ e}\) oraz \(\displaystyle{ i_1}\). Trzeba poszukać jeszcze innej zależności aby udało się nam obwód rozwiązać. Tą zależnością jest ?