Trzy jednakowe oporniki o oporze \(\displaystyle{ r}\) połączono w jeden układ o oporze \(\displaystyle{ R}\). Po dołączeniu do tego układu jako całości, jeszcze dwóch oporników \(\displaystyle{ r}\), opór układu zmniejszył się siedmiokrotnie.
Odtwórz schemat połączeń wszystkich pięciu oporników.
Trzy oporniki
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Trzy oporniki
Najpierw ustalmy jaki może być opór pierwszych trzech w zależności od oporu pojedynczego opornika. Jeśli wszystkie 3 są połączone szeregowo to \(\displaystyle{ R = 3r}\). Jeśli wszystkie 3 są spięte równolegle to \(\displaystyle{ \frac{1}{R} = \frac{3}{r} \Rightarrow R = \frac{r}{3}}\), jeśli dwa są spięte szeregowo i do nich jeden równolegle to \(\displaystyle{ \frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{2r} \Rightarrow R = \frac{2r}{3}}\) a jeśli dwa są spięte równolegle i do nich jeden szeregowo to \(\displaystyle{ R = \frac{r}{2} + r = \frac{3r}{2}}\)
Jeśli wynikowo opór spadł to na pewno coś musiało być dołożone równolegle, dokładając tylko szeregowo zwiększysz opór. Opcje są cztery:
Opcja 1: oba nowe oporniki dokładasz osobno równolegle, wówczas masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{R} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{r + 2R}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{r+2R}{r} = 7\\
r+2R = 7r\\
2R = 6r\\
R = 3r
}\)
Taka możliwość istnieje.
Opcja 2: łączysz dwa nowe szeregowo i razem dopinasz równolegle do pierwszych 3
\(\displaystyle{
\frac{1}{R} + \frac{1}{2r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{r} = 7\\
R+2r = 7r\\
R = 5r
}\)
Ta opcja nie pasuje bo to by znaczyło, że wszystkie 5 jest razem szeregowo
Opcja 3: do pierwszych 3 szeregowo dokładasz jeden i do całości drugi równolegle
\(\displaystyle{
\frac{1}{R+r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R(R+r)} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R+r} = 7\\
R+2r = 7R+7r\\
-6R = 5r}\)
Odpada
Opcja 4: do pierwszych 3 dokładasz 1 równolegle i do takiej paczki jeden szeregowo
\(\displaystyle{
\frac{Rr}{R+r} + r = 7R\\
Rr + r(R+r) = 7R(R+r)\\
Rr +Rr + r^2 = 7R^2 + 7Rr\\
7R^2 + 5Rr + r^2 = 0\\
R = \frac{-5r \pm \sqrt{25r^2 - 28r^2}}{14}
}\)
Wiadomo że odpada.
Wniosek: jedyny sposób żeby zmniejszyć opór siedmiokrotnie dokładając dwa oporniki to do trzech połączonych szeregowo dodać osobno dwa pojedyncze równolegle.
Jeśli wynikowo opór spadł to na pewno coś musiało być dołożone równolegle, dokładając tylko szeregowo zwiększysz opór. Opcje są cztery:
Opcja 1: oba nowe oporniki dokładasz osobno równolegle, wówczas masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{R} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{r + 2R}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{r+2R}{r} = 7\\
r+2R = 7r\\
2R = 6r\\
R = 3r
}\)
Taka możliwość istnieje.
Opcja 2: łączysz dwa nowe szeregowo i razem dopinasz równolegle do pierwszych 3
\(\displaystyle{
\frac{1}{R} + \frac{1}{2r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{r} = 7\\
R+2r = 7r\\
R = 5r
}\)
Ta opcja nie pasuje bo to by znaczyło, że wszystkie 5 jest razem szeregowo
Opcja 3: do pierwszych 3 szeregowo dokładasz jeden i do całości drugi równolegle
\(\displaystyle{
\frac{1}{R+r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R(R+r)} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R+r} = 7\\
R+2r = 7R+7r\\
-6R = 5r}\)
Odpada
Opcja 4: do pierwszych 3 dokładasz 1 równolegle i do takiej paczki jeden szeregowo
\(\displaystyle{
\frac{Rr}{R+r} + r = 7R\\
Rr + r(R+r) = 7R(R+r)\\
Rr +Rr + r^2 = 7R^2 + 7Rr\\
7R^2 + 5Rr + r^2 = 0\\
R = \frac{-5r \pm \sqrt{25r^2 - 28r^2}}{14}
}\)
Wiadomo że odpada.
Wniosek: jedyny sposób żeby zmniejszyć opór siedmiokrotnie dokładając dwa oporniki to do trzech połączonych szeregowo dodać osobno dwa pojedyncze równolegle.