Matematyka.pl

Trzy jednakowe oporniki o oporze \(\displaystyle{ r}\) połączono w jeden układ o oporze \(\displaystyle{ R}\). Po dołączeniu do tego układu jako całości, jeszcze dwóch oporników \(\displaystyle{ r}\), opór układu zmniejszył się siedmiokrotnie.

Odtwórz schemat połączeń wszystkich pięciu oporników.

Najpierw ustalmy jaki może być opór pierwszych trzech w zależności od oporu pojedynczego opornika. Jeśli wszystkie 3 są połączone szeregowo to \(\displaystyle{ R = 3r}\). Jeśli wszystkie 3 są spięte równolegle to \(\displaystyle{ \frac{1}{R} = \frac{3}{r} \Rightarrow R = \frac{r}{3}}\), jeśli dwa są spięte szeregowo i do nich jeden równolegle to \(\displaystyle{ \frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{2r} \Rightarrow R = \frac{2r}{3}}\) a jeśli dwa są spięte równolegle i do nich jeden szeregowo to \(\displaystyle{ R = \frac{r}{2} + r = \frac{3r}{2}}\)

Jeśli wynikowo opór spadł to na pewno coś musiało być dołożone równolegle, dokładając tylko szeregowo zwiększysz opór. Opcje są cztery:
Opcja 1: oba nowe oporniki dokładasz osobno równolegle, wówczas masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{R} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{r + 2R}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{r+2R}{r} = 7\\
r+2R = 7r\\
2R = 6r\\
R = 3r
}\)
Taka możliwość istnieje.
Opcja 2: łączysz dwa nowe szeregowo i razem dopinasz równolegle do pierwszych 3
\(\displaystyle{
\frac{1}{R} + \frac{1}{2r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{Rr} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{r} = 7\\
R+2r = 7r\\
R = 5r
}\)
Ta opcja nie pasuje bo to by znaczyło, że wszystkie 5 jest razem szeregowo
Opcja 3: do pierwszych 3 szeregowo dokładasz jeden i do całości drugi równolegle
\(\displaystyle{
\frac{1}{R+r} + \frac{1}{r} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R(R+r)} = \frac{7}{R}\\
\frac{R+2r}{R+r} = 7\\
R+2r = 7R+7r\\
-6R = 5r}\)
Odpada
Opcja 4: do pierwszych 3 dokładasz 1 równolegle i do takiej paczki jeden szeregowo
\(\displaystyle{
\frac{Rr}{R+r} + r = 7R\\
Rr + r(R+r) = 7R(R+r)\\
Rr +Rr + r^2 = 7R^2 + 7Rr\\
7R^2 + 5Rr + r^2 = 0\\
R = \frac{-5r \pm \sqrt{25r^2 - 28r^2}}{14}
}\)
Wiadomo że odpada.
Wniosek: jedyny sposób żeby zmniejszyć opór siedmiokrotnie dokładając dwa oporniki to do trzech połączonych szeregowo dodać osobno dwa pojedyncze równolegle.