Matematyka.pl

Rozkład gęstości ładunku elektronu w atomie wodoru dany jest wzorem \(\displaystyle{ \rho (r)}\)
Trzeba wyznaczyć potencjał pola elektrycznego wytwarzanego przez ten elektron.
Mam pytanie: w jaki sposób to policzyć?
Ja to zacząłem robić tak:
potencjał dany jest wzorem \(\displaystyle{ dV(r) = -\frac{dq}{4 \pi \epsilon r}}\)
I pytanie: czy teraz można policzyć potencjał po prostu ze wzoru:
\(\displaystyle{ V(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \int_{r=0}^{r} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi =0}^{2 \pi} \frac{\rho(r)}{r} r^{2}\sin \theta \mbox{d}r \mbox{d}\theta \mbox{d}\phi}\)?

a jeżeli nie, to prosiłbym o wskazówkę w rozwiązaniu

P.S Hennel podaje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ V(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \int_{r=0}^{R} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi =0}^{2 \pi} \frac{\rho(r)}{R} r^{2} \sin ^{2} \theta \mbox{d}r \mbox{d}\theta \mbox{d}\phi}\),
ale tutaj np kompletnie nie rozumiem skąd jest to: \(\displaystyle{ \sin ^{2} \theta}\)

Panowie z Uniwersytetu Warszawskiego A. Hennel i W Szuszkiewicz zastosowali współrzędne sferyczne, dla których Jakobian wynosi \(\displaystyle{ J(r, \phi, \theta) = r^2\sin(\theta)}\), drugi sinus wynika z całkowania. Stąd \(\displaystyle{ r^2\sin^2(\theta).}\) Pański wzór jest zły. Ponadto w mianowniku rozwiązania występuje \(\displaystyle{ r}\) nie \(\displaystyle{ R.}\)

dlaczego wzór na potencjał jest zły?
Czy nie jest tak, że stosując zasadę superpozycji, w celu obliczenia sumujemy wszystkie
wkłady od potencjałów cząstkowych?
Z jakiego całkowania wynika ten drugi sinus?

Drugi sinus wynika ze współrzędnej sferycznej/ Dwie pierwsze całki iterowane dają wartość \(\displaystyle{ 4\pi\cdot r.}\)

Całkujemy wzdłuż promienia sfery, traktując ładunek jako punktowy skupiony w środku układu współrzędnych.

Element objętościowy w układzie współrzędnych kulistych:

\(\displaystyle{ dV = r^2 \sin(\theta)dr d\theta d\phi}\)