Witam, mam zadanie:
"Kondensator płaski naładowano do pewnej różnicy napięcia i odłączono od baterii. Następnie
między okładki włożono dielektryk o przenikalności \(\displaystyle{ \epsilon_r}\). Wyznacz a) jak zmieniła się pojemność, ładunek na okładkach, różnica potencjału i natężenie pola elektrycznego, b) jak zmieniła się energia kondensatora".
Czy ktoś mnie naprowadzi, bo nie wiem jak zabrać się za to zadanie?
Kondensator z dielektrykiem
-
- Użytkownik
- Posty: 7927
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Kondensator z dielektrykiem
Przypomnijmy najpierw podstawowe pojęcia-fakty dotyczące kondensatora płaskiego.
Jeśli w odległości \(\displaystyle{ d }\) równomiernie naładowanej płaskiej płyty umieścimy drugą taką płytę, zaindukuje się na niej ładunek
przeciwnego znaku o takiej samej gęstości i natężenie pola między płytami wzrośnie dwukrotnie:
\(\displaystyle{ K = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{Q}{S}, }\)
\(\displaystyle{ K = \frac{Q}{\varepsilon_{0}\cdot S}.}\)
Na zewnątrz - zgodnie z Prawem Gaussa - natężenie pola spadnie do zera.
\(\displaystyle{ S }\) oznacza pole powierzchni płyty.
Napięcie między okładkami utworzonego w ten sposób kondensatora płaskiego wyniesie
\(\displaystyle{ U = K\cdot d = \frac{Q\cdot d}{\varepsilon_{0}\cdot S}. }\)
Stąd jego pojemność
\(\displaystyle{ C = \frac{Q}{U} = \frac{\varepsilon_{0}\cdot S}{d}. }\)
Jest ona tym większa im większa jest powierzchnia okładek i im cieńsza szczelina między nimi.
Jeżeli między okładki kondensatora wsuniemy dielektryk, zachodzą w nim procesy polaryzacji.
Na powierzchni dielektryku pojawiają się ładunki polaryzacyjne o gęstości \(\displaystyle{ \sigma_{p} = P_{n} }\), które indukują na okładkach ładunki powierzchniowe o tej samej gęstości.
Ich znak jest jest przeciwny do ładunku polaryzacyjnego tzn. taki sam jak pierwotnych ładunków okładek.
Jeśli kondensator jest dołączony do źródła napięcia to napięcie \(\displaystyle{ U }\) między okładkami pozostaje stałe.
Stosunek pojemności \(\displaystyle{ C }\) kondensatora z dielektrykiem do pojemności \(\displaystyle{ C_{0} }\) kondensatora próżniowego wynosi
\(\displaystyle{ \frac{C}{C_{0}} = \frac{Q}{Q_{0}} = \frac{\sigma_{0} + \sigma_{p}}{\sigma_{0}} = 1 + \frac{\sigma_{p}}{\sigma_{0}} = 1+ \frac{P_{n}}{\varepsilon_{0}\cdot K}. }\)
Ale wartość wektora polaryzacji jest proporcjonalna do natężenia \(\displaystyle{ K_{0} }\) pola powodującego polaryzację
\(\displaystyle{ P_{n} = \chi\cdot \varepsilon_{0}\cdot K_{0}, }\)
zatem w przypadku dielektryków izotropowych
\(\displaystyle{ \frac{C}{C_{0}} = 1 + \chi = \kappa.}\)
Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ C = \kappa \cdot C_{0}. }\)
gdzie:
wspólczynnik \(\displaystyle{ \kappa = \frac{\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{0}} }\) nosi nazwę stałej dielektrycznej ośrodka.
Pojemność kondensatora z dielektrykiem o stałej dielektrycznej \(\displaystyle{ \kappa }\) jest \(\displaystyle{ \kappa }\) razy większa niż pojemność
takiego samego kondnsatora próżniowego.
Jeśli wsuniemy dielektryk między okładki naładowanego kondensatora odłączonego od źródła napięcia stałe będzie nie napięcie tylko ładunek \(\displaystyle{
Q }\) na okładkach.
Napięcie \(\displaystyle{ U = \frac{Q}{C} = \frac{Q}{\kappa \cdot C_{0}} = \frac{U_{0}}{\kappa} }\)
jest \(\displaystyle{ \kappa }\) razy mniejsze niż bez dielektryku.
W tym samym samym stosunku zmniejsza się natężenie pola \(\displaystyle{ K = \frac{K_{0}}{\kappa}. }\)
Ładując kondensator zmieniamy jego energię. Praca ładowania jest równa pracy przenoszenia ładunku z jednej okładki na drugą
\(\displaystyle{ dW = (V_{1}- V_{2})\cdot dQ = U \cdot dQ }\)
Naładowany kondensator ma energię
\(\displaystyle{ E = \int_{0}^{U}U\cdot dQ = \frac{1}{2}C\cdot U^2. }\)
Jeśli taki naładowany kondensator odłączymy od źródła napięcia (stały jest ładunek okładek), to po wsunięciu dielektryku jego energia
spada
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{\kappa\cdot C_{0}} = \frac{1}{\kappa}\cdot E_{0} }\)
\(\displaystyle{ \kappa }\) razy.
Praca wsunięcia dielektryku między okładki kondensatora odbywa się kosztem energii pola, którego natężenie jak wykazaliśmy maleje \(\displaystyle{
\kappa }\) razy.
Jeśli w odległości \(\displaystyle{ d }\) równomiernie naładowanej płaskiej płyty umieścimy drugą taką płytę, zaindukuje się na niej ładunek
przeciwnego znaku o takiej samej gęstości i natężenie pola między płytami wzrośnie dwukrotnie:
\(\displaystyle{ K = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{Q}{S}, }\)
\(\displaystyle{ K = \frac{Q}{\varepsilon_{0}\cdot S}.}\)
Na zewnątrz - zgodnie z Prawem Gaussa - natężenie pola spadnie do zera.
\(\displaystyle{ S }\) oznacza pole powierzchni płyty.
Napięcie między okładkami utworzonego w ten sposób kondensatora płaskiego wyniesie
\(\displaystyle{ U = K\cdot d = \frac{Q\cdot d}{\varepsilon_{0}\cdot S}. }\)
Stąd jego pojemność
\(\displaystyle{ C = \frac{Q}{U} = \frac{\varepsilon_{0}\cdot S}{d}. }\)
Jest ona tym większa im większa jest powierzchnia okładek i im cieńsza szczelina między nimi.
Jeżeli między okładki kondensatora wsuniemy dielektryk, zachodzą w nim procesy polaryzacji.
Na powierzchni dielektryku pojawiają się ładunki polaryzacyjne o gęstości \(\displaystyle{ \sigma_{p} = P_{n} }\), które indukują na okładkach ładunki powierzchniowe o tej samej gęstości.
Ich znak jest jest przeciwny do ładunku polaryzacyjnego tzn. taki sam jak pierwotnych ładunków okładek.
Jeśli kondensator jest dołączony do źródła napięcia to napięcie \(\displaystyle{ U }\) między okładkami pozostaje stałe.
Stosunek pojemności \(\displaystyle{ C }\) kondensatora z dielektrykiem do pojemności \(\displaystyle{ C_{0} }\) kondensatora próżniowego wynosi
\(\displaystyle{ \frac{C}{C_{0}} = \frac{Q}{Q_{0}} = \frac{\sigma_{0} + \sigma_{p}}{\sigma_{0}} = 1 + \frac{\sigma_{p}}{\sigma_{0}} = 1+ \frac{P_{n}}{\varepsilon_{0}\cdot K}. }\)
Ale wartość wektora polaryzacji jest proporcjonalna do natężenia \(\displaystyle{ K_{0} }\) pola powodującego polaryzację
\(\displaystyle{ P_{n} = \chi\cdot \varepsilon_{0}\cdot K_{0}, }\)
zatem w przypadku dielektryków izotropowych
\(\displaystyle{ \frac{C}{C_{0}} = 1 + \chi = \kappa.}\)
Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ C = \kappa \cdot C_{0}. }\)
gdzie:
wspólczynnik \(\displaystyle{ \kappa = \frac{\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{0}} }\) nosi nazwę stałej dielektrycznej ośrodka.
Pojemność kondensatora z dielektrykiem o stałej dielektrycznej \(\displaystyle{ \kappa }\) jest \(\displaystyle{ \kappa }\) razy większa niż pojemność
takiego samego kondnsatora próżniowego.
Jeśli wsuniemy dielektryk między okładki naładowanego kondensatora odłączonego od źródła napięcia stałe będzie nie napięcie tylko ładunek \(\displaystyle{
Q }\) na okładkach.
Napięcie \(\displaystyle{ U = \frac{Q}{C} = \frac{Q}{\kappa \cdot C_{0}} = \frac{U_{0}}{\kappa} }\)
jest \(\displaystyle{ \kappa }\) razy mniejsze niż bez dielektryku.
W tym samym samym stosunku zmniejsza się natężenie pola \(\displaystyle{ K = \frac{K_{0}}{\kappa}. }\)
Ładując kondensator zmieniamy jego energię. Praca ładowania jest równa pracy przenoszenia ładunku z jednej okładki na drugą
\(\displaystyle{ dW = (V_{1}- V_{2})\cdot dQ = U \cdot dQ }\)
Naładowany kondensator ma energię
\(\displaystyle{ E = \int_{0}^{U}U\cdot dQ = \frac{1}{2}C\cdot U^2. }\)
Jeśli taki naładowany kondensator odłączymy od źródła napięcia (stały jest ładunek okładek), to po wsunięciu dielektryku jego energia
spada
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{\kappa\cdot C_{0}} = \frac{1}{\kappa}\cdot E_{0} }\)
\(\displaystyle{ \kappa }\) razy.
Praca wsunięcia dielektryku między okładki kondensatora odbywa się kosztem energii pola, którego natężenie jak wykazaliśmy maleje \(\displaystyle{
\kappa }\) razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 4 gru 2021, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 11 razy
Re: Kondensator z dielektrykiem
Dziękuję za przejrzyste wytłumaczenie, zrozumiałem. Dziękuję
Ostatnio zmieniony 13 maja 2022, o 15:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
-
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy