Matematyka.pl

Jeśli mamy cząstkę poruszającą się po linii śrubowej w polu elektromagnetycznym, gdzie pole elektryczne jest równolegle do pola magnetycznego to jeśli chcę napisać II zasadę dynamiki i wyznaczyć przyspieszanie tej cząstki to mam wyliczyć siłe wypadkową z siły elektrycznej i Lorentza czy wystarczy, że \(\displaystyle{ m \cdot a = E \cdot q}\)? (bo przecież pole elektryczne przyspiesza cząstkę). Bardzo proszę o pomoc i jakieś wytłumaczenie.

Analiza przypadku gdzie mamy ruch cząstki posiadającej masę \(\displaystyle{ m}\) i ładunek elektryczny \(\displaystyle{ q}\) w równomiernym polu elektrycznym \(\displaystyle{ \vec{E}}\) i równomiernym polu magnetycznym \(\displaystyle{ \vec{B}}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ \vec{E} ||\vec{B}}\) jest .

Natomiast w przypadku ogólnym należy rozwiązać równanie wektorowe:

\(\displaystyle{ m \frac{d \vec{v} }{dt}=q\left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right)}\)

...które jest równoważne trzem równaniom skalarnym.

A mógłbyś napisać te równania skalarne? Czyli jak mam równoległe te pola to muszę brać przy przyspieszeniu siłę Lorentza? Nie na moim poziomie jest rozwiązywanie równań wektorowych. Ten link co wysłałeś widziałam i czytałam z 50 razy.

dora1255 pisze:A mógłbyś napisać te równania skalarne? Czyli jak mam równoległe te pola to muszę brać przy przyspieszeniu siłę Lorentza?

Tak, trzeba brać pod uwagę wpływ i pola \(\displaystyle{ \vec{E}}\) i pola \(\displaystyle{ \vec{B}}\).

Ogólnie:

\(\displaystyle{ m \frac{d v_x }{dt}=qE_x +q\left( v_y B_z - v_z B_y \right)}\)

\(\displaystyle{ m \frac{d v_y }{dt}=qE_y +q\left( v_z B_x - v_x B_z \right)}\)

\(\displaystyle{ m \frac{d v_z }{dt}=qE_z +q\left( v_x B_y - v_y B_x \right)}\)

Poczytaj o iloczynie wektorowym. Chodzi o to by wiedzieć jak się rozpisuje wektor \(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{B}}\)

W naszym przypadku pól "równoległych" mamy:
\(\displaystyle{ E_y=E_z=0}\)
\(\displaystyle{ B_y=B_z=0}\)

Równania ruchu znacznie się uproszczą.

A dałoby się to zrobić bez pochodnych? Musi to być w 3 wymiarach rozpatrywane?

dora1255 pisze:A dałoby się to zrobić bez pochodnych? Musi to być w 3 wymiarach rozpatrywane?

Prostszą analizę masz właśnie w dokumencie, do którego link Tobie podałem. Co w tej prostej analizie nie jest dla Ciebie jasne?

Jest jasne ale nie ma tam za bardzo tego o co mi chodzi. A Można wylicz wypadkową z tw. Pitagorasa, skoro\(\displaystyle{ F _{e} e i F _{b}}\) są do siebie prostopadłe? I zastanawia mnie dlaczego trzeba brać pod uwagę siłę Lorentza skoro to pole elektryczne nadaje przyspieszenie cząstce.

dora1255 pisze:Można wylicz wypadkową z tw. Pitagorasa, skoro\(\displaystyle{ F _{e} e i F _{b}}\) są do siebie prostopadłe?

Można. Tylko w jaki sposób chcesz wykorzystać samą wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ F=\sqrt{F _{e}^{2} + F _{b}^{2}}}\)?

dora1255 pisze: I zastanawia mnie dlaczego trzeba brać pod uwagę siłę Lorentza skoro to pole elektryczne nadaje przyspieszenie cząstce.

Trzeba brać siłę wypadkową \(\displaystyle{ \vec{F}}\) działającą na cząstkę by przewidzieć jej ruch (czyli \(\displaystyle{ \vec{F}=q \vec{E}+q\vec{v} \times \vec{B}}\)).
Jeśli pominiesz pole magnetyczne to cząstka będzie się poruszać po prostej lub po paraboli (czyli tak jak kulka spadająca/wznosząca się lub rzucona ukośnie w równomiernym polu grawitacyjnym) a nie po linii śrubowej.

dora1255 pisze: to pole elektryczne nadaje przyspieszenie cząstce.

To o czym Ty piszesz to fakt, że pole magnetyczne nie jest w stanie zmienić wartości prędkości cząstki (modułu wektora prędkości), jest tylko w stanie zmienić kierunek wektora prędkości cząstki (pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu cząstki).

Natomiast pole elektryczne może zarówno zmieniać wartość prędkości \(\displaystyle{ v}\) (moduł wektora prędkości \(\displaystyle{ v=\left| \vec{v} \right|}\)) jak i kierunek wektora prędkości \(\displaystyle{ \vec{v}}\) (a więc zakrzywiać tor ruchu cząstki).