Programowanie liniowe

Popyt, podaż, kapitalizacja, rynki finansowe. Mikroekonomia. makroekonomia, finanse itp...
majcher13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 sty 2024, o 23:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Programowanie liniowe

Post autor: majcher13 »

Witam serdecznie!
Pilnie potrzebuję rozwiązania poniższego zadania:
W przedsiębiorstwie wytwarza się 2 wyroby (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)) zużywając w tym celu 2 czynniki produkcji (\(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\)). Informację o normach zużycia tych czynników na jednostkę każdego wyrobu oraz ich zasobach zamieszczono w tabeli poniżej:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Czynnik produkcji} & \text{Wyrób }A & \text{Wyrób }B &\text{Zasób}\\
\hline
C_1& 5 & 4 & 200\\
\hline
C_2 & 3 & 6 & 180\\
\hline\end{array}}\)


Wiedząc, że zyski jednostkowe ze sprzedaży obu wyrobów wynoszą odpowiednio 5 i 4 tys. zł wyznacz optymalny plan produkcji przedsiębiorstwa. Za kryterium optymalności przyjmij maksymalizację łącznego zysku ze sprzedaży obu wyrobów. O ile zmieni się zysk przedsiębiorstwa, gdy zasób czynnika Ci wzrośnie o jednostkę, ceteris paribus?
Ostatnio zmieniony 21 sty 2024, o 23:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7874
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1668 razy

Re: Programowanie liniowe

Post autor: janusz47 »

Przeskakujesz z jednego forum na drugie, szukając pilnie rozwiązania.

Pisałem, mamy dwie metody rozwiązania: metodę graficzną i Metodę Sympleks.

Metoda graficzna

ZPL o dwóch zmiennych decyzyjnych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}:}\)

\(\displaystyle{ f(x_{1}, x_{2}) = 5x_{1} + 4x_{2} \rightarrow max }\)

przy warunkach:

\(\displaystyle{ I: \ \ 5x_{1} + 4x_{2} \leq 200 }\)
\(\displaystyle{ II: \ \ 3x_{1} + 6x_{2} \leq 180.}\)
\(\displaystyle{ III: \ \ x_{1} \geq 0 }\)
\(\displaystyle{ IV: \ \ x_{2} \geq 0.}\)


W układzie prostokątnym \(\displaystyle{ O x_{1}, x_{2} }\) wyznaczamy zbiór decyzji optymalnych \(\displaystyle{ \textbf D.}\)

Zauważmy, że każdy z warunków ograniczających od \(\displaystyle{ I }\) do \(\displaystyle{ IV, }\) a także każdy z warunków nieujemności ma postać:

\(\displaystyle{ ax_{1} + bx_{2} \leq c, \ \ a,b,c \in \RR.}\)

Rozwiązaniem powyższej nierówności jest jedna z dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez krawędź \(\displaystyle{ L }\) o równaniu:
\(\displaystyle{ ax_{1} +bx_{2} = c, \ \ \ a,b,c \in \RR. }\)


Zatem poszukiwany zbiór \(\displaystyle{ \textbf D}\) jest częśćią wspólną czterech półpłaszczyzn o krawędziach:

\(\displaystyle{ L_{1}: \ \ 5x_{1} + 4x_{2} = 200,}\)

\(\displaystyle{ L_{2}: \ \ 3x_{1} + 6x_{2} = 180, }\)

\(\displaystyle{ L_{3}: \ \ x_{1} = 0, }\)

\(\displaystyle{ L_{4}: \ \ x_{2} = 0. }\)

Dwie ostatnie krawędzie wyznaczają I ćwiartkę układu współrzędnych \(\displaystyle{ x_{1}Ox_{2} \ \ (x_{1}\geq 0, x_{2}\geq 0). }\)

Wystarczy narysować pozostałe dwie proste i wskazać odpowiadające warunkom \(\displaystyle{ I }\) do \(\displaystyle{ II }\) pólpłaszczyzny i zaznaczyć część wspólną tych półpłaszczyzn zawartą w \(\displaystyle{ I }\) ćwiartce układu współrzędnych.

Rysunki \(\displaystyle{ 1, 2 }\) ilustrują kolejne etapy wyznaczania optymalnego rozwiązania ZPL metodą graficzną \(\displaystyle{ \textbf D.}\)

Wyznaczamy gradient funkcji celu:

\(\displaystyle{ grad [f(x_{1}, x_{2})]= \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}.}\)

Gradient funkcji liniowej jest wektorem zawsze prostopadłym do jej warstwicy. Jeśli krawędź zbioru \(\displaystyle{ \textbf D }\) jest zawarta w warstwicy, to gradient musi być prostopadły do tej krawędzi.

Wektor ten w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ \textbf D }\) wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu wartości funkcji latex] f.[/latex]

Zgodnie z rysunkiem 2 stwierdzamy, że \(\displaystyle{ \vec{x}_{opt} = \left(26\frac{2}{3} j. \ \ 16\frac{1}{3} j.\right).}\)

Maksymalny zysk:

\(\displaystyle{ f(\vec{opt}) = 5\cdot 26\frac{2}{3} + 4\cdot 16\frac{1}{3} = 198\frac{2}{3} j.p.}\)

Dodano po 1 godzinie 28 minutach 6 sekundach:
Rysunek \(\displaystyle{ 1,2 }\) do metody graficznej ZPL,

W punkcie tym nie jest spełniony drugi warunek ograniczeń.

Popełniłem błąd przy rozwiązywaniu układu równań \(\displaystyle{ L_{1}, L_{2}.}\)

Rozwiązaniem optymalnym powinien być punkt:

\(\displaystyle{ \left(\frac{40}{3} , \ \ \frac{100}{3}\right) = \left( 13^\frac{1}{3}, \ \ 33\frac{1}{3}\right).}\)

I wtedy zysk przedsiębiorstwa wynosi:

\(\displaystyle{ f\left(\frac{40}{3}, \frac{100}{3}\right) = 5\cdot \frac{40}{3} + 4\cdot \frac{200}{3} = \frac{600}{3}=200j.p.}\)

Dodano po 45 minutach 48 sekundach:
Rysunek 1, 2 do ZPL.
Załączniki
20240125_183304.jpg
20240125_183251.jpg
ODPOWIEDZ