Matematyka.pl

Panowie X i Y założyli jednocześnie firmy i w pierwszym miesiącu działalności każda z nich miała obrót równy 50000 zł. Po pięciu miesiącach okazało się, że obrót firmy pana X rósł z miesiąca na miesiąc o tę samą kwotę, a obrót firmy pana Y rósł co miesiąc w postępie geometrycznym. Stwierdzili równieź, że w drugim i trzecim miesiącu działalności firma pana X miała obrót większy od obrotu firmy pana Y o 2000 zł.
a)Jakie były obroty każdej z firm w pięciu początkowych miesiącach?
b)Która z firm miała większą sumę obrotów w pierwszych pięciu miesiącach i o ile?
c)Po ilu miesiącach obrót jednej z firm (której?) przekroczy dwukrotnie obrót drugiej firmy?

Obroty odpowiednich firm w kolejnych miesiącach wyrażaja sie wzorami:
\(\displaystyle{ x_t=50000+(t-1)*a}\)
\(\displaystyle{ y_t=50000*b^{(t-1)}}\)
Problem to obliczyć wartości a oraz b.

Tworzymy układ równań.
\(\displaystyle{ 50000+a = 50000\cdot b+ 2000}\)
\(\displaystyle{ 50000+2\cdot a = 50000\cdot b^2 + 2000}\)

a)
\(\displaystyle{ a=12000}\)
\(\displaystyle{ b=1,2}\)

wiec
\(\displaystyle{ x_t=98000}\)
\(\displaystyle{ y_t=103680}\)

a jak poradzic sobie z c)?

Kiedy \(\displaystyle{ x_t > y_t}\) ?

Obliczyłeś już a oraz b.
Znasz więc wzory:
\(\displaystyle{ x_t=50000+(t-1)\cdot 12000}\)
\(\displaystyle{ x_t=50000\cdot 1,2^{(t-1)}}\)

Afish podał Ci jaką nierówność powinny spełniać.

a nie przypadkiem taka?

\(\displaystyle{ 50000 +(t-1)\cdot 12000<50000(1,2)^{t-1}\cdot \frac{1}{2}}\)

Tak, oczywiście

Praktycznie rzecz biorąc znak nierówności może być dowolny. Jeżeli znajdziemy zbiór wartości \(\displaystyle{ t}\), dla których jeden obrót jest mniejszy od drugiego, to potem możemy szybko wywnioskować odpowiedź (dla pewności można jeszcze sprawdzić, czy kiedykolwiek obroty są równe).

Sadzę, że chodziło między innymi o mnożenie/dzielenie przez dwa.