Ulubione działy matematyki

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
szw1710

Ulubione działy matematyki

Post autor: szw1710 »

O inkluzjach różniczkowych jest bardzo dobry skrypt Fryszkowskiego (po polsku). Nazywa się chyba Teoria multifunkcji.-- 4 sie 2012, o 14:33 --252251,100.htm#p4957640

Ostatnio kontruję Lubię schemat Hornera.
Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Ulubione działy matematyki

Post autor: wiskitki »

Analiza matematyczna, przynajmniej w takim zakresie, w jakim ją znam. Poza tym ostatnio nawet prawdopodobieństwo mi się spodobało, musiałem siedzieć nad nim przez wakacje i w końcu się do niego przekonałem...
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Ulubione działy matematyki

Post autor: Yaco_89 »

1.statystyka matematyczna, zwłaszcza estymacja nieparametryczna (czyli w sumie bardziej funkcjonalna niż to co się większości ludzi kojarzy ze statystyką)
2.analiza stochastyczna (==matematyka finansowa...)
3.analiza numeryczna
4.topologia jest piękna, ale ja z niej jestem kiepski (dla odróżnienia trzy poprzednie działy wydaje mi się że jako-tako ogarniam...)
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Ulubione działy matematyki

Post autor: Spektralny »

1. Operatory na przestrzeniach Banacha; szczególnie pytania algebraiczne z nimi związane.
2. Algebry operatorów (już w klasycznym sensie na przestrzeni Hilberta); z naciskiem na algebry von Neumanna.
3. Teoria mnogości; algebry Boole'a, nieprzeliczalna teoria Ramsey'a.
4. Topologia mnogościowa, szczególnie zero-wymiarowa.
szw1710

Ulubione działy matematyki

Post autor: szw1710 »

Swego czasu bardzo lubiłem twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a. To tak w nawiązaniu do Spektralnego i topologii mnogościowej zero-wymiarowej.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: Jakub Gurak »

Teoria mnogości , cały czas.

Ktoś sobie może myśleć, że to teoria o jakiś wielkich zbiorach nieskończonych. Guzik prawda. Czasami trzeba podjąć trud żeby je uwzględnić, ale same nie odgrywają głównej roli. Zbiory skończone, to ani tyle. Więc co?

Dowolne zbiory. O, i to lepiej opisuje czym zajmuje się teoria mnogości- rozumowania dla dowolnych zbiorów, rozumowania ogólne. Też różne związki między obiektami. Rozważa się np. porządek na dobrych porządkach ( dowód tw. Zermelo), funkcje na funkcjach (tw. o definiowaniu przez indukcję- tam to dopiero jest - dla dowolnej ustalonej funkcji na funkcjach trzeba pokazać że istnieje jedyna funkcja spełniająca równość), dla dowolnego zbioru uporządkowanego rozważać nowy zbiór uporządkowany ( pokazuje on przykład, że w tym zbiorze uporządkowanym każdy łańcuch posiada supremum), łańcuchy złożone z łańcuchów (ten sam dowód- tw. o maksymalnym łańcuchu), podobnie łańcuchy złożone z antyłańcuchów ( łańcuchy pod względem inkluzji), rodziny rodzin zbiorów (np. rodziny liczb porządkowych)... i ... zapewne wiele, wiele innych. Coś niesamowitego.

Jest tego wielkie bogactwo, bardzo mi się podobają wymowne ilustracje, które (niestety często sam) odkryłem. I nie mówię, że będę się zajmował tylko teorią mnogości- ale tego typu mam zainteresowania, ogólnej natury ( też logikę polubiłem trochę , ale nie formalizm). A teoria mnogości jest najpiękniejsza, bo można prowadzić bardzo ogólne rozumowania, ale też można się wspomagać ilustracjami.

Zaczynam pracować nad stroną internetową- kompendium teorii mnogości ( ma być to strona z bogactwem teorii mnogości). Co prawda jest już taka strona- ważniak.mimuw.edu.pl ale ma kilka wad ( mało wyjaśnień i zdecydowanie za dużo formalizmu niepotrzebnego), po drugie brak ilustracji i po trzecie skrótowe trochę dowody. U mnie tych wad nie będzie (postaram się) i w ogóle zrobię to starannie.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: NogaWeza »

Powodzenia w tym przedsięwzięciu. Jak skończysz to się pochwal
Relationship goals:    
Mój ulubiony dział to pewnie coś z systemami dynamicznymi i teorią sterowania, bo to takie całkiem ciekawe połączenie analizy, algebry i fizyki klasycznej.
Z drugiej strony, jak tak sobie o tym myślę, to dochodzę do wniosku, że właściwie żaden dział matematyki mnie nie zainteresował. Lubię wiedzieć trochę o wszystkim, w wolnym czasie czytałem sobie ostatnio o matematyce dyskretnej, wcześniej coś tam o analizie zespolonej, ale najczęściej przerobiwszy jakiś podręcznik do podstaw danego działu porzucam go i biorę się za coś innego. Jest to dość komfortowa sytuacja, bo nie mam większego problemu z matematyką, która gdzieś tam cały czas na moich studiach się przewija, nie zalewa mnie pot, gdy widzę równanie różniczkowe, itd. Słyszałem kiedyś takie powiedzonko, że jeśli coś jest do wszystkiego, to jest do niczego; potwierdzam.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: bartek118 »

Skoro już temat został odkopany, to pozwolę sobie zaktualizować swoje zainteresowania Zostały obecnie dość sprecyzowane; przynajmniej do doktoratu
Otóż, obecnie zajmuję się metodami wariacyjnymi w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
monia12qwerty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 lip 2018, o 09:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: monia12qwerty »

Analiza funkcjonalna
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: Jakub Gurak »

NogaWeza pisze:Powodzenia w tym przedsięwzięciu. Jak skończysz to się pochwal
Zapraszam. Zapraszam do wyrażania opinii. Strony już (na razie) nie będę rozwijał (chyba, że w ostatnim rozdziale Dodatki drobne zagadnienia) ze względu, że nie ma od nikogo odzewu. Także zapraszam do komentowania. Na stronie raczej nie będzie błędów, bo zrobiłem to bardzo starannie( choć kilka razy, przy trudniejszych zagadnieniach nie byłem pewny, i się "trząsłem"). Zapraszam do wyrażania opinii.

Mówi się, że matematyk który zna różne działy matematyki ten jest wszechstronny. (A ja jak się zajmuję teorią zbiorów, to ciągle jedno i to samo). Ja się jednak z tym nie zgadzam. Przecież teoria mmnogości, to podstawy całej matematyki, więc to jest prawdziwa wszechstronność. (I rzeczywiście jest tego wielkie bogactwo).

Ja od października rozpoczynam w końcu studia magisterskie(nie będzie to na pewno porywająca matematyka ), ale muszę(chcąc dostać pracę na uczelni- a chciałbym). Teraz, niestety muszę czekać rok( bo już 25 września zeszłego roku się zdecydowałem, a właściwie dopiero). W połowie maja rozpoczyna się rekrutacja (tu na Uniwersytecie Rzeszowskim).
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: Slup »

Skoro ten wątek (co nie jest jego wadą) polega na wyrażaniu subiektywnych preferencji i opinii, to w moim odczuciu teoria mnogości jest podstawą całej matematyki w takim stopniu, w jakim drewno, z którego wykonana jest szachownica, jest podstawą gry w szachy. Z punktu widzenia formalizmu matematyka jest rodzajem dobrze określonej gry. Historycznie ten postulat zrealizowano w ten sposób, że pojęcia, które są przedmiotem (gry) strukturalnych dociekań zostały wykonane z zagnieżdżonych kolekcji. Akurat do tego świetnie nadawały się zbiory systemu ZFC lub systemu Tarskiego-Grothendiecka (ZFC+aksjomat Tarskiego). W szachach dobrym materiałem na szachownicę i bierki jest drewno, w przypadku papier-kamień-nożyce wystarczą dłonie, a w statki łatwo gra się na pokratkowanym papierze itd. Dla mnie niedorzeczny wydaje się pogląd, że, gdy rozważam ciało uporządkowane i zupełne z własnością Archimedesa, to z jakiejś przyczyny naprawdę ważne jest bym miał na myśli konkretną krotkę zbiorów \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1, \leq)}\). Nie myślę o tym w ten sposób i wątpię by myślenie o tym w taki sposób było produktywne. Podobnie zazwyczaj nie jest produktywne myślenie o homomorfizmie grup \(\displaystyle{ f:G\rightarrow H}\) jako o podzbiorze \(\displaystyle{ f\subseteq G\times H}\). Jestem też ciekaw, czy kiedykolwiek ktoś z forumowiczów wypisał krotkę zbiorów, którą jest rozmaitość różniczkowalna \(\displaystyle{ S^3}\)? Wreszcie czy ktoś uważa, że z punktu widzenia teorii liczb, analizy itd. ważne jest, że arytmetyka liczb naturalnych jest w systemie ZFC zazwyczaj konstruowana jako para uporządkowana złożona ze zbioru:

\(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}, ...\}}\)

oraz pewnej kanonicznej funkcji zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x \cup \{x\}}\)? Dla mnie żaden z powyższych faktów nie ma istotnego znaczenia i dlatego uważam, że ZFC ma się do reszty matematyki, jak drewno, z którego zrobiona jest szachownica, ma się do gry w szachy. Cieszę się, że szachownica jest niepodatna na urazy mechaniczne i nie rozpływa się jak galareta, ale gdy gram w szachy, to nie mam poczucia by fakt, że szachownica jest drewniana, był naprawdę ważny dla samej gry.
Poza tym w XX i XXI wieku zaproponowano kilka alternatyw dla teorii mnogości w kontekście materiału, z którego buduje się matematykę. Trwają (zaawansowane) prace nad (homotopijną) teorią typów, niektórzy (Laurent Lafforgue) uważają, że toposy są z pewnego punktu widzenia wygodnymi podstawami itd. Wreszcie znaczną część matematyki można sformalizować przy użyciu konserwatywnych rozszerzeń arytmetyki Peano lub geometrii Euklidesa (wielowymiarowej). Oczywiście teoria mnogości posiada własną problematykę i znaczną liczbę ciekawych twierdzeń, ale to już zupełnie osobna kwestia. Nie przypominam sobie by wiedza na temat skali betów, hierarchii kumulatywnej lub definicja liczb porządkowych von Neumanna bardzo często przydawały się w dowodzie twierdzenia matematycznego poza teorią zbiorów.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: Jakub Gurak »

Jak najbardziej się zgadzam, niektóre rzeczy są sztuczne (tzn. nie uniwersalne, jak np. reprezentowanie liczb naturalnych za pomocą zbiorów). A w specjalistyczną teorię mnogości nie za bardzo wchodziłem. Ja tak ogólnie.

Ja jednak pozostanę przy swoich zainteresowaniach ogólnej natury. Może tak są mniejsze możliwości- może, ale ja tak lubię. Jakbym się interesował wszystkim w matematyce, to wiadomo- nie da rady, za dużo tego, skupiłbym się na czymś specjalistycznym, a o reszcie nie wiele bym wiedział- także ja wolę zajmować się ogólną matematyką( nie znam wtedy szczegółów specjalistycznych, ale ogólnie coś wiem). A z tego co poznałem z teorii mnogości (to jest tego jak kilka miesięcy temu szacowałem- ciężko oszacować, myślę że 2-3-krotność mojego kompendium, a może jeszcze więcej- ale ciężko oszacować) , i jest tego takie bogactwo, że gdzie indziej większego nie będzie( nie mówię tego jakbym znał całą matematykę- oczywiście nie znam, nawet moja wiedza z innych działów matematyki typu analiza, algebra jest bardzo podstawowa) ale znam trochę ogólną teorię mnogości- i większego bogactwa matematyki już nie mogę sobie wyobrazić, to niemożliwe.

Chcecie liczby- są i liczby- reprezentowane jako zbiory (i ścisłe metody operowania na nich ). Wiele rzeczy można zilustrować( choć często sam wyobrażałem sobie, rysowałem, niestety w podręcznikach często brakuje ilustracji, np. książka Błaszczyk.Turek Teoria Mnogości jak zauważyłem jest prawie całkowicie pozbawiona ilustracji , niestety jest to problem, ja na swojej stronie nie żałowałem ilustracji) . Są rozumowania trudniejsze, łatwiejsze, nieskończoność, skończoność, złożoność zbiorów- atrakcji nie brakuje.

Są i liczby jak mówiłem, działania na nich, nierówności, fakty typowe, nietypowe( np. dla rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\), który fakt jest bardziej nietypowy \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{X} \subset \mathbb {X}}\), czy \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {X} \supset \mathbb {X}}\), albo dla niepustego zbioru \(\displaystyle{ X}\), czy możliwym jest aby \(\displaystyle{ X \times X \subset X,}\), czy może łatwiej aby \(\displaystyle{ X \times X \supset X}\), albo na zbiorze liczb naturalnych von Neumanna funkcja identyczności jest przykładem funkcji \(\displaystyle{ f :\NN \rightarrow \NN}\), takiej że \(\displaystyle{ f\left( n\right)=\stackrel { \rightarrow }{f}\left( n\right) ,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, albo dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb {X},\mathbb {Y}}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb {X} \cup \mathbb {Y}\right)= \bigcup \mathbb {X} \cup \bigcup\mathbb {Y}}\), czy podobna równość zachodzi dla iloczynu dla dwóch rodzin zbiorów, proszę uważać- pytania mogą być podchwytliwe )- niczego tu nie brakuje, a jest to za to robione na trochę wyższym poziomie.

Tak więc pozostanę przy swoich zainteresowaniach ogólnej natury( zresztą tak najlepiej- wszystkiego po trochu, ogólna matematyka) .
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ulubione działy matematyki

Post autor: Premislav »

Żaden, wszystkie mi znane to pupa kupa, najmniej kupowa jest algebra abstrakcyjna, bo ma w sobie pewną estetykę i elegancję, ale ja na nią jestem za głupi.
ODPOWIEDZ