Matematyka.pl

Jakiś czas temu spostrzegłem pewną ciekawą właściwość. Nie wiem czy ktoś to wcześniej odkrył, ale nie znalazłem tego w internecie.

Weźmy dowolną naturalną dodatnią liczbę złożoną, która nie jest potęgą żadnej liczby pierwszej. Określmy ją jako \(\displaystyle{ c}\). Określmy funkcję sumującą jej wszystkie dzielniki jako \(\displaystyle{ f(c)}\). Istnieje przynajmniej jedna reprezentacja
\(\displaystyle{ a \cdot b = c}\), gdzie \(\displaystyle{ f(a) \cdot f(b) = f(c)}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq c}\) i \(\displaystyle{ b \neq c}\)

Druga część teorii odnosi się do potęg:
jeśli liczbę naturalną \(\displaystyle{ c}\) da się zapisać w postaci \(\displaystyle{ a^{b}=c}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) to naturalne liczby dodatnie, przy czym \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ b>1}\), to \(\displaystyle{ a \cdot f(a^{b-1})+1=f(c)}\)

Sprawdzone dla wszystkich \(\displaystyle{ c \le 100000}\)
Jak ktoś jest zainteresowany plikiem "dowodem", to niech pisze na priva.

Edytowałem post, bo wstępnie źle o tym pomyślałem .
Ta pierwsza część to jest trywialna gdy weźmiemy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=1}\)

Poczytaj tu: i tu

Generalnie, jeżeli chcesz zajmowac sie jakimś tematem, to poczytaj trochę literatury zamiast wyważać otwarte drzwi