Matematyka.pl

Co wyróżnia linie proste od krzywych?
Chodzi mi o geometryczną definicję "prostości".

Początkowo próbowałem takiego podejścia:
Mamy dane dwa różne punkty A i B. Możemy je połączyć dowolną ilością dowolnych linii ciągłych, ale tylko jedna z nich będzie najkrótsza. Będzie to linia prosta [choć może lepszą nazwą byłaby "geodezyjna"? zważywszy na fakt, że np. na powierzchni sferycznej najkrótsza ścieżka jest po kole wielkim, które nie jest tak do końca proste ]
Niestety z taką definicją miałem następujące problemy:
1. Potrzebny jest najpierw sposób mierzenia odległości lub długości wzdłuż ścieżki. Niestety wszelkie znane mi sposoby pomiaru długości bazują na prostości "linijki", więc niejako pojawia się błędne koło.
2. Każda linia prosta w wyższym wymiarze może się okazać zakrzywiona, a wtedy, w tym wyższym wymiarze, może istnieć krótsza droga z A do B po linii, która w tym wymiarze jest prosta. Np. prosta na powierzchni sferycznej w przestrzeni 3D okazuje się być łukiem koła wielkiego, a więc istnieje krótsza droga z A do B: po linii prostej poprzez wnętrze sfery.
3. Ta krótsza odległość w wyższym wymiarze może się okazać nawet zerowa! W takim razie co powoduje, że w wymiarze niższym jeden punkt wydają się być osobnymi punktami? Skąd się bierze przestrzeń między nimi [odległość w 1D]? I dlaczego nie zapada się do zera? [w końcu wszystkie punkty składające się na tą ścieżkę mają wymiar 0 i mogą być nieskończenie ciasno upakowane]
4. W geometrii sferycznej jeśli A i B są antypodami, to istnieje nieskończenie wiele linii prostych [południków] prowadzących z A do B [na szczęście ich długości są sobie równe, więc może to nie jest aż tak duży problem].

Czy ktoś wie, jak rozwiązać powyższe problemy?
Jeśli nie, następnie próbowałem takiej definicji prostości:

Obieramy dwa różne punkty A i B. Możemy znaleźć punkt C, którego odległość od A jest taka sama, jak odległość od B. Takich punktów możemy znaleźć więcej, nieskończenie wiele. Zbiór wszystkich takich punktów na płaszczyźnie definiuje linię prostą [a w przestrzeni 3D definiuje płaszczyznę, itd.]. Linia krzywa tym się różni od prostej, że w pewnych miejscach odległość AC może być różna od BC [linia "ucieka na boki"].

Ta metoda wydaje się działać dla geometrii płaskiej, sferycznej i hiperbolicznej [choć nie sprawdzałem dla bardziej pokrzywionych, bom za cienki w uszach na to ;J]. Jednak z nią też są pewne problemy:
1. Nadal potrzebna jest definicja odległości między punktami, a ona wydaje się niejawnie wymagać definicji linii prostej [chyba że znacie inny sposób znajdowania długości, który nie potrzebuje prostych].
2. Potrzebuję jeszcze jakiś sposób, żeby upewnić się, że ten zbiór punktów równoodległych od A i B jest ciągły [bo gdyby nie był, nie można mówić o linii]. Niestety nie wiem, jak zdefiniować ciągłość Chodziło mi coś po głowie sąsiedztwo punktów, jak w geometrii uporządkowanej [tak się tłumaczy ordered geometry?], ale każdy punkt może sąsiadować z nieskończenie wieloma innymi i są one nieskończenie blisko niego, więc nie wiem, czy to ma jakiś sens.

Próbowałem też podpierać się kierunkami:
Prosta to linia, która leży cały czas w tym samym kierunku.
To z kolei wymaga definicji kierunku. Jedyny sposób, jaki mi przychodzi do głowy, to użycie wektora jednostkowego. Jednak taki wektor to w sumie jest odcinek skierowany z A do B, czyli wracamy do problemu ze zdefiniowaniem prostości - w końcu żeby linia podążała wciąż w tym samym kierunku, to coś ten kierunek musi wyznaczać. Tym czymś może być chyba tylko prosta, więc znowu błędne koło

Ostatnią deską ratunku była geometria analityczna, ponieważ wyczytałem na Wikipedii, że w tej geometrii można zdefiniować punkt [jako krotkę liczb] oraz prostą [używając równania prostej]. Wszystko fajnie tylko że najpierw trzeba określić osie układu współrzędnych, a one są... prostymi! Ewentualnie wektorami bazy ortonormalnej, czyli wersorami wskazującymi kierunki osi i określającymi jednostkę w każdym z tych kierunków. Ale żeby zdefiniować wektor, znów trzeba odwołać się do prostości Podobnie przy określaniu reszty kierunku pokazywanego wersorem.

No i jak tu kwa nie zwariować?
Im głębiej kopię, tym bardziej odkrywam, że moje nogi wiszą w powietrzu. Jakby cała matematyka stała na obłoku, który rozpuszcza się w nicości ;P Jak można posługiwać się matematyką i geometrią, jeśli problemy są nawet z najprostszymi elementami, najbardziej podstawowymi, na których stoi wszystko inne?

SasQ pisze:Jakby cała matematyka stała na obłoku

To się nie nazywa obłok, tylko aksjomaty.

Nie musisz definiować kierunku, prostości czy jakiegokolwiek innego pojęcia, które w gruncie rzeczy oznacza mniej więcej prostą - bo prostą zwykliśmy uważać za pojęcie pierwotne, którego się nie definiuje ("mam takie coś jak prosta i wiem o niej wszystko bez dowodu - i teraz za jej pomocą i kilku innych pojęć pierwotnych, zbuduję taką geometrię:" i tu have fun). Mógłbyś zdefiniować prostą, gdybyś przyjął, że krzywa (albo coś jeszcze innego) jest pojęciem pierwotnym ("mam coś takiego jak krzywa i wiem o niej wszystko - i teraz: prosta to będzie taka krzywa, która...").

Mniej więcej to właśnie próbuję zrobić. Znaleźć jakieś pojęcia, które byłyby "bardziej pierwotne" niż prosta, by zdefiniować prostą. Wierzę, że to możliwe, skoro mogły powstać geometrie "bardziej pierwotne" od euklidesowej, np. absolutna, afiniczna, projekcyjna, uporządkowana [tak się tłumaczy "ordered geometry"?] itp.

Wiem, co to aksjomaty i nie raz już słyszałem tą śpiewkę, że się ich nie definiuje, a logika to taka maszynka, co potrafi mielić różne zdania i stwierdzać, czy są prawdą czy fałszem, o ile poda jej się na wejściu, co jest prawdą a co nie w pierwszej kolejności. Ale skoro tak, to skądś te pojęcia pierwotne trzeba brać [np. z rzeczywistości fizycznej]. Nigdzie też nie jest powiedziane, że punkt i prosta są pojęciami pierwotnymi KAŻDEJ teorii geometrii. Podejrzewam, że da się zbudować teorie w oparciu o inne pojęcia pierwotne, skoro w przypadku geometrii analitycznej punkt i prosta są definiowane przy użyciu innych pojęć. Jeśli sama matematyka sobie nie radzi [a jeśli Goedel ma rację, nie poradzi sobie nigdy], to może czas sięgnąć do fizyki i samej rzeczywistości fizycznej, do której opisu [a nie tworzenia] stworzono matematykę? Co komu np. po matematyce, w której z jednej sfery da się zrobić dwie takie same jak ta pierwsza [paradoks Banacha-Tarskiego], albo wywrócić sferę na lewą stronę bez rozdzierania jej [sphere eversion], jeśli nie ma to pokrycia w rzeczywistości?

Problem w tym, że wiele pojęć podstawowych w standardowej geometrii opiera się na intuicjach. Na zasadzie "Koń jaki jest, każdy widzi." I o ile ten koń [definicja prostej] w geometrii euklidesowej jeszcze jakoś pokrywa się z intuicją, to już w nieeuklidesowych wychodzą "jaja" Opieranie się na intuicji przy definiowaniu matematyki nie jest wg mnie dobrym pomysłem, bo intuicja sporej większości ludzi kończy się na geometrii euklidesowej. A to też tylko dlatego, że ktoś im to pokazał i powiedział: "Tak to jest, i już". Ale spróbuj wytłumaczyć małemu dziecku, które jeszcze ma świeży umysł, co to jest prosta Dziecko tak łatwo kitu nie łyka ;J zaczyna zadawać pytania, przy których umysł dorosłego się zawiesza i dorosły odpowiada: "Nie wiem, spływaj"

SasQ pisze: Mniej więcej to właśnie próbuję zrobić. Znaleźć jakieś pojęcia, które byłyby "bardziej pierwotne" niż prosta, by zdefiniować prostą.

Nie "bardziej pierwotne" tylko "inne". Nikt ci tego nie broni. Opisałeś sposób definiowania prostej w geometrii analitycznej, więc przyjmij sobie układ wspołrzędnych jako pojęcie pierwotne i voila. Pytanie tylko, czy układ wspołrzędnych spełnia Twoją definicję pojęć "bardziej pierwotnych". W tej sytuacji nie interesuje Cię jednak, że osie układu wspołrzędnych wyglądają jak proste (zresztą musisz udowodnić, jak wyglada prosta) - Ty po prostu wiesz wszystko o układzie współrzędnych.

SasQ pisze:Podejrzewam, że da się zbudować teorie w oparciu o inne pojęcia pierwotne

Oczywiście, że się da. Przychodzą tu Ci z pomocą wspołczesne odkryia matematyczne, z których wynika, że na każde pytanie "czy mogę przyjąć takie założenie" odpowiedź brzmi "jak sobie życzysz" (przynajmniej dopóki nie odkryjesz, że sam sobie zaprzeczasz).

SasQ pisze: Problem w tym, że wiele pojęć podstawowych w standardowej geometrii opiera się na intuicjach. Na zasadzie "Koń jaki jest, każdy widzi."

Taka jest idea uprawiania nauki. Zapewniam Cię, że wcale nie "zbyt wiele" tylko "tak mało, jak to tylko możliwe". Skonstruowanie jakiegokolwiek matematycznego modelu bez korzystania z tej zasady jest równoważne z rozwiązaniem odwiecznego problemu "co było pierwsze - jajko czy kura" albo "będziemy głosować, tylko jaką metodą wybierzemy metodę głosowania?". (Twoje "bardziej pierwotne" pojęcia" to właśnie ta intuicja).

SasQ pisze:intuicja sporej większości ludzi kończy się na geometrii euklidesowej.

Obrażasz w tym momencie Babilończyków, Majów i Egipcjan. U nich nawet taka intuicja się nie zaczęła na geometrii euklidesowej. Jedyną przewagą, jaką miała geometria euklidesowa nad wszystkimi innymi, była taka, że istnieją w niej podobieństwa, które nie są izometriami (czyt. mapy).

SasQ pisze:Ale skoro tak, to skądś te pojęcia pierwotne trzeba brać [np. z rzeczywistości fizycznej].

Tak się właśnie robi.

-- 9 lutego 2010, 23:44 --

SasQ pisze:Ale spróbuj wytłumaczyć małemu dziecku, które jeszcze ma świeży umysł, co to jest prosta

Spróbuj wytłumaczyć dziecku, że słoneczko jest białe.

-- 9 lutego 2010, 23:51 --

SasQ pisze: I o ile ten koń [definicja prostej] w geometrii euklidesowej jeszcze jakoś pokrywa się z intuicją, to już w nieeuklidesowych wychodzą "jaja"

Jak już stwierdziłem, w ogólnie przyjmowanym modelu geometrii, do którego zapewne się odnosisz, nie istnieje coś takiego, jak definicja prostej.

Słowo "jaja" w tym momencie oznacza, ze prosta nie ma tych własności, których od niej oczekujesz, co nie powinno dziwić, gdyż to pojęcie jest szczególnie przydatne w geometrii euklidesowej, winnych może się okazać gniotem. Ale zostało stworzone do określonego modelu i okazało się, że można przy jej użyciu zdefiniować inne modele.

Twoje stwierdzenie, że w wyżsych wymiarach może się okazać, że prosta nie działa tak, jak byś chciał to nieporozumienie - przecież przenosząc się do wyższego wymiaru, opuszczasz rozmaitość, na której dotychczas bawiłeś się Swoją geometrią. Na tamtej powierzchni obowiązywała geometria X, na tej już nie obowiązuje. To mniej więcej tak jakbyś powiedział, że na płaszczyźnie trójkąt nie ma objętości, a w przestrzeni już ma , bo się okazało, ze jest kawałkiem czworościanu. Wniosek: trójkąt to badziewie.

Jak masz te pięć aksjomatów Euklidesa, to ta pierwsza czwórka jest naprawdę prosta i bardzo intuicyjna. Piąty jest brzydki. Przez wiele lat wielu matematyków próbowało pokazać, że ten piąty tak naprawdę nie jest pewnikiem tylko wynika z pozostałych czterech. No nie dali rady. . No chyba, że zaczniemy się bawić w nowe geometrie, ale jak zrozumiałem zależy ci na intuicyjności, więc jednak radzę zostać przy tej euklidesowej. Bez pewników sobie nie poradzimy, a pięć to naprawdę mało. Poczytaj sobie to: , bo tu jest ładnie wszystko definiowane.

Popełniasz pewien błąd w rozumowaniu.
Na poziomie 1D wyróżniasz tylko jeden dopuszczalny kierunek wzdłuż którego możesz się poruszać z punktu A do punktu B.

Jeśli rozpatrujesz coś z poziomu planimetrii (2D), to tu z kolei istnieją tylko dopuszczalne powierzchnie po których możesz się przemieszczać. Dla powierzchni sferycznych torem ruchu mogą być owe łuki (ale wiemy to ponieważ jesteśmy "obserwatorem zewnętrznym") i to owe łuki są najkrótszymi możliwymi drogami. Na poziomie dwóch wymiarów nie istnieje ten trzeci. Dlatego nie ma krótszej odległości.

Natomiast gdy przechodzisz w przestrzeń 3D to jest to zupełnie osobne zagadnienie. Wówczas patrzysz na ową sferę z punktu widzenia przestrzeni 3D i widzisz ów "prosty" odcinek łączący dane 2 punkty leżące na sferze. Z tym że wówczas sfera jest już rozpatrywana jako obiekt stereometryczny, a nie jako dozwolona powierzchnia.

O aksjomatach już Ci inni napisali więc nie będę powtarzał tego samego. Poza tym nic nie stoi na przeszkodzie by stworzyć geometrię SasQ jednakowoż musiałbyś wymyślić system spójnych aksjomatów ją opisujących, tak by się to "kupy trzymało"