Proste pytanie - ułamek 0,(9)
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 474
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Zgadzam się. Przypuszczam, że potrafisz go usensownić.
Ale można z tych wypowiedzi powyżej wyciągnąć pewien zaskakujący wniosek
Dwie liczby zapisane w tym samym systemie liczbowym pozycyjnym. Różniące się dowolną liczbą cyfr mogą być sobie równe.
Ale można z tych wypowiedzi powyżej wyciągnąć pewien zaskakujący wniosek
Dwie liczby zapisane w tym samym systemie liczbowym pozycyjnym. Różniące się dowolną liczbą cyfr mogą być sobie równe.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Nie sądzę.
"Zaskakującość" jest bardzo indywidualną kwestią. Co innego zaskakuje Ciebie, co innego mnie, a co innego np. Jakuba Guraka. Mnie np. powyższy wniosek nie zaskakuje (pomijając już niedokładność sformułowania "różniące się dowolną liczbą cyfr").
JK
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3850
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Pytanie czy kiedykolwiek ktokolwiek mówił, że jest inaczej. A przyjęcie tego do wiadomości jest chyba głównym problemem wszystkich tych, którzy mają jakieś "ale" do \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) (drugim problemem, jest niewystarczająca znajomość matematyki...).
-
- Użytkownik
- Posty: 474
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Systemy liczbowe
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x \in \NN}\) oraz liczby naturalnej \(\displaystyle{ p \ge 2}\) istnieją jednoznacznie wyznaczone:
liczba \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz ciąg cyfr \(\displaystyle{ c_{0}, c_{1},..., c_{n-1} }\) (gdzie \(\displaystyle{ c_{k} \in \left\{ 0, 1,...,p-1\right\} }\)) taki, że \(\displaystyle{ x= c_{0}+ c_{1 \cdot p+ ... + c_{n-1} \cdot p^{n-1} }. }\)
Ciąg (\(\displaystyle{ c_{n-1} ... c_{0} }\)) nazywamy reprezentacją liczby \(\displaystyle{ x}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\).
Gdzie podziała się jednoznaczność reprezentacji liczby \(\displaystyle{ 1}\)?
Ja tak łatwo nie odpuszczam
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x \in \NN}\) oraz liczby naturalnej \(\displaystyle{ p \ge 2}\) istnieją jednoznacznie wyznaczone:
liczba \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz ciąg cyfr \(\displaystyle{ c_{0}, c_{1},..., c_{n-1} }\) (gdzie \(\displaystyle{ c_{k} \in \left\{ 0, 1,...,p-1\right\} }\)) taki, że \(\displaystyle{ x= c_{0}+ c_{1 \cdot p+ ... + c_{n-1} \cdot p^{n-1} }. }\)
Ciąg (\(\displaystyle{ c_{n-1} ... c_{0} }\)) nazywamy reprezentacją liczby \(\displaystyle{ x}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\).
Gdzie podziała się jednoznaczność reprezentacji liczby \(\displaystyle{ 1}\)?
Ja tak łatwo nie odpuszczam
Ostatnio zmieniony 10 maja 2023, o 10:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3850
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
I cóż takiego chciałeś tym stwierdzeniem przekazać? Z czego wnioski mają wynikać?
A słyszałeś już o tym, że liczb naturalnych i wymiernych jest tyle samo?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Ważne aby sprecyzować do czego ma zmierzać ta dyskusja i co ma udowodnić na razie nie widzę konkretnego celu jedyne co to doszedłem do wniosku, że pewnikiem wysoce prawdopodobnym jest:
\(\displaystyle{ 0,(8)=0,9}\)
\(\displaystyle{ 0,(8)=0,9}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 474
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Skorzystam z dowodu przedstawionego przez Dasio11.
\(\displaystyle{ 0,(8)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{8}{10 ^{n} } = \frac{8}{10} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{10} }= \frac{8}{9} }\)
idąc dalej
\(\displaystyle{ 0,(7)= \frac{7}{9} }\)
...
\(\displaystyle{ 0,(3)= \frac{3}{9} = \frac{1}{3} }\)
...
\(\displaystyle{ 0,(1)= \frac{1}{9} }\)
Dodano po 8 minutach 4 sekundach:
A tak jeszcze
\(\displaystyle{ 0,8(9)=0,8+ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{9}{ 10^{n}} =0,8+ \frac{9}{100} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{10} } =0,8+0,1=0,9 }\)
Dodano po 12 minutach 1 sekundzie:
Słyszałem
Odnośnie wniosku bezpośrednio z założenia. Jeżeli założysz, że \(\displaystyle{ 0,(9) =1}\) to choćbyś się "ubździł po pachy" będzie zachowywało się jak \(\displaystyle{ 1}\) można podnosić do hoho potęgi i jest \(\displaystyle{ 1}\) . A gdybyś założył, że jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\). Wynik \(\displaystyle{ 1}\) wynika z czarów matematycznych na nieskończonościach. Ale stosując anty-czar nieskończonościowy podnosząc do potęgi nieskończenie wielkiej (do której nie można podnosić) zakłócamy czar pierwszy ...
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3850
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Ale my nie tylko zakładamy, ale też i dowodzimy prawdziwości tego założenia. Nie ma zatem problemów o których mówisz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)
Mam na ten temat jeszcze inne przemyślenia ale zachowam je dla siebie, w sumie dobrze, że takie tematy się czasem pojawiają...
Dodano po 2 minutach 18 sekundach:
Dodano po 2 minutach 18 sekundach:
To też jest wysoce prawdopodobne...A idąc dalej tym tropem 0.(0)=0.1
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy