Matematyka.pl

Cześć,
czemu wprowadzono nowe oznaczenia przedziałów domkniętych z \(\displaystyle{ \left\langle \right\rangle }\) na \(\displaystyle{ \left[ \right] }\)?
Czy uczniowie mają się uczyć według nowej zasady?

A wprowadzono? To świetnie, w końcu w szkołach zaczynają używać takiej notacji, jak na całym świecie.

JK

Gdyby jeszcze wprowadzono \(\displaystyle{ \forall}\), \(\displaystyle{ \exists}\) zamiast tych dziwacznych \(\displaystyle{ \bigwedge}\), \(\displaystyle{ \bigvee}\)...

Od razu symbole \(\displaystyle{ \bigvee, \bigwedge }\) są dziwaczne...
One są naturalne, bo jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) }\) jest formułą o zakresie \(\displaystyle{ x \in \left\{ 1,2, \ldots,n\right\}}\), to mamy równoważności:

\(\displaystyle{ \left[\bigwedge\limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \wedge \alpha \left( 2\right) \wedge \ldots \wedge \alpha \left( n\right)\right] ;}\) i:

\(\displaystyle{ \left[\bigvee \limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \vee \alpha \left( 2\right) \vee\ldots \vee\alpha \left( n\right)\right].}\)

Natomiast dla mnie, pewne 'typowe oznaczenia' są zupełnie nienaturalne, np. sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} a _{n} }\) oznaczać przebrzydłym symbolem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+ \infty } a _{n}. }\) I teraz zachodzi pytanie: co ma wspólnego \(\displaystyle{ + \infty }\) z liczbami naturalnymi- jedno do drugiego ma się tak jak kwiatek do kożucha...
Albo: wszyscy matematycy iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{n}}\) oznaczają jako: \(\displaystyle{ X _{1} \times X _{2} \times \ldots \times X _{n}.}\) Dla mnie, jest to, wbrew pozorom, prawie zupełnie nienaturalne- bo taki zapis nie oznacza iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ n}\) zbiorów, lecz taki zapis musi oznaczać wielokrotny binarny iloczyn kartezjański dwóch zbiorów stosowany wielokrotnie( choć, na upartego, to da się to pogodzić- wystarczy kolejne działania wykonywać po kolei, od lewej do prawej, i skorzystać z jednej, odpowiedniej do tej sytuacji, definicji \(\displaystyle{ n}\)- ki uporządkowanej, przy pomocy zagnieżdżonych par uporządkowanych). Znacznie jest lepiej oznaczyć ten iloczyn kartezjański (bo chodzi tutaj po prostu o zbiór \(\displaystyle{ n}\)- ek), zbiorów \(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{n}, }\) więc oznaczam go jako:

\(\displaystyle{ \stackrel{n}{\stackrel{P}{ _{ i=1}} } \left( X _{i} \right) :=\left\{ \left( x _{1}, x _{2},\ldots,x _{n} \right)\Bigl| \ \ x _{1} \in X _{1}, x _{2} \in X _{2},\ldots, x _{n} \in X _{n} \right\}; }\)

czyli naturalnie, traktujemy tą operację jako operację przypisującą \(\displaystyle{ n}\) zbiorom zbiór \(\displaystyle{ n}\)-ek, a nie jako wielokrotny binarny iloczyn kartezjański.
Wiem, że oznaczenia są nieistotne, ale tak, jak zaproponowałem, jest dla mnie o wiele naturalniej, używanie zapisów które są dla mnie zupełnie nienaturalne, tylko dlatego, że używa ich większość matematyków, nie bardzo mi się podoba- ja wolę zapis, który ma dla mnie sens.

Jakub Gurak pisze: ↑18 gru 2023, o 23:28Wiem, że oznaczenia są nieistotne, ale tak, jak zaproponowałem, jest dla mnie o wiele naturalniej, używanie zapisów które są dla mnie zupełnie nienaturalne, tylko dlatego, że używa ich większość matematyków, nie bardzo mi się podoba- ja wolę zapis, który ma dla mnie sens.

Jakubie, uprawiasz sobie swoją własną matematykę, używając oznaczeń, które najbardziej lubisz (i są to nierzadko oznaczenia używane dawno temu, które obecnie już wyszły z użycia) - OK, każdy może wybrać, na co ma ochotę. Możesz nawet być przekonany o swojej wyższości w tej kwestii nad innymi matematykami.

Natomiast matematycy standardowo używają często innych oznaczeń niż Ty i mają inne wyobrażenie na temat ich naturalności bądź nie. W szczególności obecnie podstawowymi oznaczeniami na kwantyfikatory są \(\displaystyle{ \forall}\) i \(\displaystyle{ \exists}\), niezależnie od tego, co Ty na ten temat sądzisz. Używają też powszechnie oznaczeń, które Tobie się nie podobają, bo uważasz je za nienaturalne - myślę, że dla nich są naturalne, może dlatego, że nieco lepiej rozumieją matematykę.

Na szczęście ta rozbieżność nie ma żadnych poważnych konsekwencji - co najwyżej innym matematykom nie będzie chciało się czytać tego, co piszesz.

JK

PS
A tego, co wypisujesz na temat iloczynu kartezjańskiego nawet nie chce się komentować...

Jakub Gurak pisze: ↑18 gru 2023, o 23:28One są naturalne, bo jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) }\) jest formułą o zakresie \(\displaystyle{ x \in \left\{ 1,2, \ldots,n\right\}}\), to mamy równoważności:

\(\displaystyle{ \left[\bigwedge\limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \wedge \alpha \left( 2\right) \wedge \ldots \wedge \alpha \left( n\right)\right] ;}\) i:

\(\displaystyle{ \left[\bigvee \limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \vee \alpha \left( 2\right) \vee\ldots \vee\alpha \left( n\right)\right].}\)

Prawidłowym gruntem by rozstrzygać o konwencjach dotyczących formuł jest teoria modeli. Tam zaś symbole \(\displaystyle{ \bigwedge}\) i \(\displaystyle{ \forall}\) mają zupełnie różne znaczenia - kwantyfikator zawsze przebiega uniwersum modelu, natomiast zakres uogólnionej koniunkcji jest ustalony na poziomie syntaktycznym, w szczególności jest zawsze taki sam niezależnie od modelu. Taka uogólniona koniunkcja o wiele bardziej niż kwantyfikator przypomina zwykłą koniunkcję, dlatego to ona, nie kwantyfikator, zasługuje na oznaczanie symbolem \(\displaystyle{ \bigwedge}\).

Przykładowo: w języku teorii grup nieskończona koniunkcja

\(\displaystyle{ x \neq 1 \wedge x \cdot x \neq 1 \wedge x \cdot x \cdot x \neq 1 \wedge \ldots}\)

zapisuje się (w logice nieskończonościowej) jako \(\displaystyle{ \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} x^n \neq 1}\), ale nie da się jej zastąpić kwantyfikatorem. W szczególności - zapis \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, x^n \neq 1}\) nie ma sensu w tym kontekście.