Nowa funkcja w Teorii Liczb: Van

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Awatar użytkownika
c-rasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 23 maja 2024, o 04:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Nowa funkcja w Teorii Liczb: Van

Post autor: c-rasz »

— ale nie Van der Waalsa...

⁣W poprzednim swoim wpisie przedstawiłem definicję nowej funkcji, którą nazwałem Awangarda, po angielsku Van. Jest to funkcja dwuargumentowa, i stanowi iloraz primorialu liczby większej, podzielonego przez primorial liczby mniejszej. Przypomina to nieco współczynnik dwumianowy Newtona, z wyjątkiem tego, że u Newtona pod kreską jest dodatkowo jeszcze silnia różnicy tych liczb. Zaproponowałem zapis:
\(\displaystyle{ \#pq = p\#/q\#}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ gdzie obie liczby są pierwsze, i \(\displaystyle{ p > q}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ oraz ⁣ ⁣ ⁣⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p-q= Δ}\)
Ale po namyśle zmieniam konwencję:
⁣poręczniejszy, bardziej obrazowy będzie bowiem równoważny powyższemu zapis
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣
\(\displaystyle{ \#p₀Δ₀ = (p₀+Δ₀)\#/p₀\#}\)
— przy czym należy go rozumieć symbolicznie, ponieważ \(\displaystyle{ Δ}\) nie jest liczbą, lecz oznacza powiększenie numeru liczby pierwszej \(\displaystyle{ p₀}\) — o zadaną ilość kroków \(\displaystyle{ Δ₀}\), w stosunku do numeru porządkowego liczby \(\displaystyle{ p₀}\).
Dodatkowo, ponieważ \(\displaystyle{ p₀}\) wciąż będzie się zmieniać, to wygodnie będzie je po prostu indeksować:
\(\displaystyle{ p₁; p₂; p₃... pₙ}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ zmieniać się będzie również \(\displaystyle{ Δ₀}\), ponieważ istotna jest nie tyle odległość pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi, co otrzymana w wyniku ich wymnażania liczba, co do której z jakichś powodów mamy warunek, aby nie była zbyt duża.
Z jakich powodów (zapyta ktoś)? Nie wiem! Wyjdzie to w praniu, to znaczy przy algorytmów układaniu...

Jak się okazuje funkcja taka jest przydatna w teorii liczb. Zanim to wyjaśnię — mała dygresja:
Faktoryzację liczb stosunkowo małych, można prowadzić tak zwaną metodą naiwną, albo inaczej prymitywną, przypominającą nieco jednak genialne sito Eratostenesa, dzieląc po prostu (lub też raczej usiłując podzielić) liczbę badaną, przez kolejne liczby pierwsze. Kiedy nam się to uda, wynik dzielenia próbujemy dzielić ponownie przez ostatnio użytą liczbę, bo być może liczba badana dzieli się przez nią kilkakrotnie.
Każda liczba pierwsza, przez którą dzieli się liczba badana, oczywiście w adekwatnej potędze — jest składnikiem iloczynu liczb pierwszych, iloczynu tworzącego konkretną liczbę badaną.

Otrzymany wynik dzielenia traktujemy teraz jak kolejną liczbę badaną, i dzielimy go przez następne w kolejności liczby pierwsze, powtarzając procedurę aż do chwili, gdy otrzymany wynik będzie mniejszy od liczb pierwszych kolejno następujących w stosowanej przez nas procedurze, progresywnie wspinającej się w górę szeregu liczb pierwszych. Oczywiście przez nie próbować dzielić nie ma już sensu najmniejszego, bowiem obracamy się w sferze liczb całkowitych.

A teraz nawiązując do tej dygresji, przypomnę, że zaproponowana w jednym z poprzednich wpisów metoda primorial sieve, stanowiąca bardzo wydajny sposób wykrywania dużych liczb złożonych, poniekąd ma coś wspólnego z opisaną powyżej metodą naiwną. Ale jest istotna różnica. Rzecz w tym, że podobnie jak człowiek, komputer mnożenie wykonuje zauważalnie szybciej, niż dzielenie: różnica sięga kilkudziesięciu procent — liczonych czy to w czasie wykonania, czy w ilości taktów procesora. W metodzie primorial sieve w pierwszym kroku wymnażamy przez siebie kilka liczb, a później liczbę badaną dzielimy (lub próbujemy podzielić) już przez ich iloczyn: i warto się zastanowić nad tym, o ile to jest szybsze, niż gdybyśmy dzielili przez każdą z tych liczb osobno.

Ale nie jest to różnica najistotniejsza (chociaż swoją wagę posiada), bowiem dużo większe znaczenie ma przemyślne badanie otrzymywanych reszt z dzielenia, i określanie, które z nich są liczbami pierwszymi, a które nie: otóż ten drugi przypadek wskazuje na to, że liczba badana jest liczbą złożoną, dzieli się bowiem przez przynajmniej jeden ze składników owej reszty, będącej również liczbą złożoną.
Metoda primorial sieve dedykowana jest do badania liczb olbrzymich, zbudowanych z dziesiątek tysięcy cyfr, a nawet większych.
Warto wspomnieć, że wśród nich największe zainteresowanie budzą nie takie, które są podzielne przez stosunkowo małe liczby pierwsze, ale liczby stanowiące iloczyn dokładnie dwóch dużych liczb pierwszych zbliżonej wielkości. Liczby te oczywiście nie będą wykrywane w pierwszym, wstępnym kroku procedury primorial sieve, ani też nawet w krokach kolejnych, niezbyt jeszcze wysokich. Stąd pojawiła się potrzeba zastosowania funkcji awangarda.
Otóż gdy liczba badana oparła się próbom jej faktoryzacji w pierwszym już etapie, to w następnym, i w kolejnych, będziemy używać funkcji Van, tak dobierając jej \(\displaystyle{ Δ}\), aby spełnić pewne warunki, które zostaną opisane później.
W wyniku zastosowania tej procedury otrzymamy całkiem już sporą (a będzie to przyczyną zauważalnych kłopotów) ilość reszt z dzielenia, i znowu, jak w poprzednim etapie, te z nich, które będą liczbami złożonymi — sygnalizują, że liczba badana również jest liczbą złożoną, i dzieli się przynajmniej przez jeden ze składników, tworzących daną resztę.
Tym razem naszą podłogę do wyliczeń (wiem, że w matematyce termin podłoga, ma określone znaczenie ściśle techniczne, ale tutaj używam go w innym kontekście: na określenie progu, od którego zaczynamy dalszą procedurę, jest to bowiem liczba \(\displaystyle{ p₁= \#p₀Δ₀}\)).
O ile nie pogubiłem się z tymi indeksami, co możliwe, bo jestem już trochę zmęczony, to potrzebna nam będzie baza danych, zawierająca kompletne zestawienie ponumerowanych kolejnych liczb pierwszych, zawartych w przedziale \(\displaystyle{ (p₀; p₁)}\).
Ale chyba raczej zawartych w przedziale \(\displaystyle{ (p₁; p₂)}\) — no, niech ktoś podpowie, piętra mi się plączą...

Późno już, i trudno mi się skupić nad detalami, ale chcę dokończyć rozpoczętą myśl, od detali bardziej istotną. Jednak trudno mi rozstrzygnąć teraz, co z resztami z dzielenia, które będą liczbami pierwszymi, ale są mniejsze od wspomnianego przedziału? A zauważmy, że nie jest to problem tylko w drugim kroku (czyli w piętrze... pierwszym) procedury, ale ma naturę ogólną, bowiem w kolejnych pojawi się również, jednak rozwiązanie będzie takie same, jak na drugim procedury piętrze. Jest więc to problem bardzo istotny, a ponieważ w tej chwili rozwiązania nie znajduję, to proszę o pomoc, licząc na podpowiedzi...

Na koniec krótkie résumé: wciąż podnosząc poprzeczkę wysokości liczb pierwszych, za pomocą których testujemy liczbę badaną, przechodzimy w indeksach funkcji primorial sieve, od \(\displaystyle{ p₀}\), do \(\displaystyle{ p₁}\), potem do \(\displaystyle{ p₂}\), i tak dalej, aż kolejne \(\displaystyle{ pₙ}\) będzie większe od liczby badanej. W ten sposób sfaktoryzujemy wszystkie liczby złożone, natomiast w przypadku liczby pierwszej — otrzymamy stuprocentowe potwierdzenie jej prymarności...
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ i ⁣ t. b. b. n. t...

Dodano po 16 godzinach 35 minutach 45 sekundach:
c-rasz pisze: 16 cze 2024, o 03:39 Zaproponowałem zapis:
\(\displaystyle{ \#pq = p\#/q\#}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ gdzie obie liczby są pierwsze, i ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p > q}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ oraz ⁣ ⁣ ⁣⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p-q= Δ}\)
Powinno być, uwzględniając wymogi LaTeXa:
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ \#pq = \frac{p\#}{q\#}}\)

Ale po namyśle zmieniam konwencję:
⁣poręczniejszy, bardziej obrazowy będzie bowiem równoważny powyższemu zapis
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣
\(\displaystyle{ \#p₀Δ₀ = (p₀+Δ₀)\#/p₀\#}\)
— przy czym należy go rozumieć symbolicznie, ponieważ \(\displaystyle{ Δ}\) nie jest liczbą, lecz oznacza powiększenie numeru liczby pierwszej \(\displaystyle{ p₀}\) — o zadaną ilość kroków \(\displaystyle{ Δ₀}\), w stosunku do numeru porządkowego liczby \(\displaystyle{ p₀}\).

uwzględniając wymogi LaTeXa:
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ \#p₀Δ₀ = \frac{(p₀+Δ₀)\#}{p₀\#} }\)
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — przypomnę ponownie, iż "działanie" ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ (p₀+Δ₀)}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ dodawaniem nie jest,
lecz operacją na indeksach tablicy numerowanych liczb pierwszych, i oznacza wyrażoną numerem indeksu odległość pomiędzy ⁣⁣ ⁣\(\displaystyle{ p₀}\)⁣ ⁣ ⁣a⁣⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p_{1} }\)⁣ ⁣ ⁣ — tedy ⁣ \(\displaystyle{ ⁣⁣(p₀+Δ₀)}\) ⁣ ⁣ ⁣należy czytać ⁣ ⁣⁣ jako ⁣ ⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p_{1} }\)⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — to jest zapis równoważny...⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣
Ostatnio zmieniony 16 cze 2024, o 20:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Paragraf 22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 cze 2024, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 46
Podziękował: 1 raz

Re: Nowa funkcja w Teorii Liczb: Van

Post autor: Paragraf 22 »

c-rasz pisze: 16 cze 2024, o 20:14 uwzględniając wymogi LaTeXa:
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ \#p₀Δ₀ = \frac{(p₀+Δ₀)\#}{p₀\#} }\)
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — przypomnę ponownie, iż "działanie" ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ (p₀+Δ₀)}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ dodawaniem nie jest,
lecz operacją na indeksach tablicy numerowanych liczb pierwszych, i oznacza wyrażoną numerem indeksu odległość pomiędzy ⁣⁣ ⁣\(\displaystyle{ p₀}\)⁣ ⁣ ⁣a⁣⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p_{1} }\)⁣ ⁣ ⁣ — tedy ⁣ \(\displaystyle{ ⁣⁣(p₀+Δ₀)}\) ⁣ ⁣ ⁣należy czytać ⁣ ⁣⁣ jako ⁣ ⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ p_{1} }\)⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — to jest zapis równoważny...⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣
Ej, zamętu nie siej!
Chyba ze zmęczenia zacząłeś powiększać nigdy nie malejącą entropię Wszechświata...
.
Zapis
1.
\(\displaystyle{ \#p₀Δ₀ = \frac{(p₀+Δ₀)\#}{p₀\#} }\)

bynajmniej nie jest równoważny zapisowi
2.
\(\displaystyle{ \#pq = \frac{q\#}{p\#} }\)
.
Nie jest też im (obu) równoważny zapis
3.
\(\displaystyle{ \#p _{2}= \frac{p _{1}}{p _{0}} }\)
- o ile zrozumiałem Twoje nieco jednak zawiłe nowości...
.
Bo, jak domniemam, to choć wartości się zgadzają, to zamęt jest w terminologii, czy też jej symbolicznym wyrażaniu.
.
Zapis nr \(\displaystyle{ 2}\) jest najbardziej uniwersalny, warto pozostawić mu więc nazwę Van
Zapis nr \(\displaystyle{ 1}\) jest nieczytelny, proponuję go zarzucić.
Zapis nr \(\displaystyle{ 3}\) warto omówić:
- jako że odwołuje się do indeksów, to konsekwentnie tych indeksów powinno się trzymać, choć będą ich dwa, różne rodzaje.
Jak wskazujesz, potrzebna jest kompletna baza wszystkich, kolejnych liczb pierwszych, a więc mogą one zostać ponumerowane. No i w tej konwencji będzie się więc operować nie samymi p-liczbami (jak je nazywasz), ale ich indeksami, czyli numerami porządkowymi, prawda? To dość użyteczne, gdy mowa o liczbach zapisywanych za pomocą wielu tysięcy cyfr, bezsprzecznie: indeksy będą miały zapis znacznie krótszy, choć tych cyfr też będzie całkiem sporo!
No, ale jednak krótszy jest zapis wskazujący p-liczbę nr 21,375,857,412 — niż ją wypisywać in plena extensione...

Dla tej konwencji, na określenie tak zapisywanej funkcji Van proponuję używać nazwy indexVan - w skrócie symbolicznym iVan - uniknie się chaosu.
OK?
Awatar użytkownika
c-rasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 23 maja 2024, o 04:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Nowa funkcja w Teorii Liczb: Van

Post autor: c-rasz »

Jak wspominałem, pisałem do późna, a nawet jeszcze dłużej, zmęczenie pomocnikiem nie jest...
Pomysł niezły, warto wyraźnie sygnalizować, kiedy zamiast p-liczb używa się ich numeru porządkowego, absolutnie!

To mi przywodzi na myśl kwestię ich katalogowania, czyli pełnego zestawienia, gdzie każda będzie miała swój indeks.
A że mówimy o liczbach z zapisem dziesiętnym o ilości cyfr idącej w dziesiątki tysięcy, alibo i więcy — to warto posłużyć się pewnym mykiem:
in extenso zamieszczać w tej tabeli jedynie co którąś liczbę, np. w odległości \(\displaystyle{ 2^{16} }\), co oznacza w syst. decymalnym odległość \(\displaystyle{ 65`536}\), a co \(\displaystyle{ 256 }\) (czyli \(\displaystyle{ 2^{8} }\)) byłaby liczba (niezbyt już duża) którą należy do poprzedniej dodać, aby otrzymać odpowiadającą danemu indeksowi p-liczbę.

Natomiast w komórkach "drobnicy", czyli dalszych, i sąsiadujących ze sobą bezpośrednio (indeks różny o \(\displaystyle{ 1}\)) — byłyby liczby, które należy dodać do tej, co każdy arkusz otwiera: te liczby mają indeksy różniące się o \(\displaystyle{ 256}\)...

Pozwoli to na zmniejszenie objętości owej bazy danych, aby jej ściąganie przez internet nie trwało tygodniami...
ODPOWIEDZ