WPROWADZENIE
Georg Cantor genialnie porównując ze sobą różne zbiory nieskończone, jak na przykład zbiór liczb naturalnych ze zbiorem liczb parzystych oraz ze zbiorem ułamków zauważył, że ich elementy można zestawić parami w taki sposób, że żaden z elementów nie zostanie bez pary, czyli można powiedzieć, że są równoliczne.
Takiego przyporządkowania wzajemnie jednoznacznego ze zbiorem liczb naturalnych w stosunku do liczb rzeczywistych (zwłaszcza przestępnych) jednak nie udawało mu się znaleźć, gdyż do ich precyzyjnego zdefiniowania (łącznie z ich miejscem na osi liczbowej) niezbędne są ciągi z nieskończoną ilością elementów. Co więcej: wydawało mu się nawet, że znalazł dowód na potwierdzenie tezy o nierównoliczności zbiorów nieskończonych w postaci metody przekątniowej. Dowód nie wprost miał polegać na przyjęciu założenia, że gdyby wszystkie liczby rzeczywiste zostały ustawione w ciągu z liczbami naturalnymi w postaci ich nieskończonych rozwinięć dziesiętnych, to metodą przekątniową (opisaną przecież przy pomocy metajęzyka wyższego poziomu) znajdzie dodatkową liczbę rzeczywistą nieznajdującą się w takim ciągu. Co prowadziło do sprzeczności z założeniem i miało dowodzić istnienia zbiorów nieprzeliczalnych.
Podobną metodą posłużył się Cantor „dowodząc”, że ilość elementów zbioru potęgowego zawsze będzie istotnie większa od samego zbioru i niemożliwe będzie ustawienie odwzorowania jeden-do-jednego pomiędzy ich elementami. Posłużył się przy tym formułą, która dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ P(A)}\) powinna zawsze definiować pewien niesparowany zbiór \(\displaystyle{ B}\) .Tu pokazuję taką funkcję, która podważa wiarygodność tej formuły.
A błąd Cantora prawdopodobnie wynikał z tego, że nie brał pod uwagę możliwości ustawienia w ciąg tekstów definiujących obiekty wyrażonych w metajęzyku, choć sam swoje diagonalne konstrukcje tworzył przy jego pomocy i które mogą stać się wtedy autoreferencyjne. Zaś samo użycie do języka opisowego rzeczywistych obiektów matematycznych tzw metajęzyka wyższego poziomu pozwala znacznie skondensować zapis. Widać to dobitnie w przypadku liczb rzeczywistych np \(\displaystyle{ \pi}\) , gdzie jednoznaczny i jedyny zapis w postaci rozwinięcia dziesiętnego jest zapisem nieskończonym, ale nie znanym nam do tej pory i nigdy w całości nie będzie nam dane jego poznanie, właśnie ze względu na jego nieskończony zapis wymagający do zapisania i odczytania nieskończonego czasu, a więc czasu dłuższego od istnienia nie tylko cywilizacji ludzkiej, ale nawet całego naszego wszechświata. Zapisy dziesiętne takich liczb niewymiernych, znane nam w danej chwili, są tylko pewnymi przybliżeniami innych nieskończonych procesów, które mogą być zapisane przy pomocy metajęzyka wyższego poziomu znanymi od dawna symbolami:
\(\displaystyle{ \sum _{n=0}^{\infty}\ \frac{(-1)^{n}}{2n+1} }\)
wyrażającym nieskończoną sumę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+ \frac{1}{9} - \frac{1}{11}+... }\)
który to wzór definiuje \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }\) według wzoru Leibniz'a z XVII wieku.
W systemie szesnastkowym i binarnym korzystniejszym będzie szereg szybciej wyznaczający kolejne cyfry znaleziony przez Bailey-Borwein-Plouffe w 1997r:
\(\displaystyle{ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }\)
Widzimy, że zapis przy pomocy metajęzyka wyższego rzędu jest dość wygodny, bo przy pomocy skończonej ilości znaków poprawnie definiuje liczby rzeczywiste i dzięki nim można wyznaczyć dowolną ilość rozwinięć cyfrowych tych liczb, choć proces ten może być długotrwały. Proces odwrotny jest niestety niemożliwy z kilku powodów:
1. W zapisie tekstowym przy pomocy metajęzyka istnieją różne definicje dla tej samej liczby
2. Aby odczytać nieskończony zapis cyfrowy potrzeba nieskończonego czasu.
Porządkowanie wszystkich tekstów
Kluczem do ustawienia wszystkich możliwych tekstów jest ustawienie ich w ciągu według wzrastającej ilości znaków użytych do ich zapisania (łącznie z separatorami) oraz porządkiem wyznaczonym w tablicy zamienników poniżej – kolejnością podobną do porządku leksykograficznego.Stosując tysiąc znaków uzyskamy łatwość zamiany danych tekstów na liczby i odwrotnie liczb na teksty. W ten sposób dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) łatwo przypisany zostaje pewien tekst \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ TB}\)- Bijekcji Tysięcznej (i odwrotnie).
\(\displaystyle{ TB: \NN_{0}\ni n \rightarrow T=T _{k}...T _{2}T _{1} T _{0} }\) ;
gdzie \(\displaystyle{ (T _{k} ...T _{2} T _{1} T _{0} ) _{t} =T _{0}\cdot (10 ^{3}) ^{0} + T _{1}\cdot (10 ^{3}) ^{1}+ T _{2}\cdot (10 ^{3}) ^{2}+...+ T _{k}\cdot (10 ^{3}) ^{k}=n ;\ k\in\NN }\)
Powyżej literką \(\displaystyle{ T}\) oznaczyłem tekst, jako cały wyraz, czyli łańcuch znaków \(\displaystyle{ T _{k}...T _{2}T _{1}T _{0}}\) z tabeli podstawień, zaś odczytując ten wyraz, jako zapis liczby w notacji tysięcznej \(\displaystyle{ (..) _{t}}\) otrzymamy liczbę mu odpowiadającą w odwzorowaniu jeden-do-jednego.
Definiując jakieś obiekty w matematyce używamy metajęzyka posługującego się właśnie takimi znakami.
Przykładem może być zamiana pewnej liczby na tekst:
\(\displaystyle{ 28\ 047 \ 361 \ 049 \ 052 \ 053 \ 010 \ 051 \ 039 \ 058 \ 053 \ 367 \ 051
\ 039 \ 058 \ 063 \ 049 \ 039}\)
\(\displaystyle{ \ Piękno \ \ matematyczne}\)
Gdyby używany przez nas tekst zawierał inne znaki, niezawarte w tabelce podstawień, to można nieistotne znaki zamienić na te, których potrzebujemy dołączając do tekstu tabelkę zmodyfikowaną. A gdyby mimo to brakowało znaków (np. w chińskim), to możemy tekst przetłumaczyć na angielski, lub zmienić podstawę z tysięcznej na np. milionową lub zrobić całkowicie odwrotnie i ograniczyć się tylko do alfabetu binarnego, przy pomocy którego przesyłamy dowolne teksty pocztą internetową i dodatkowo zdjęcia, muzykę i filmy.
Dosyć "ciężkie" tabele zamienników \(\displaystyle{ TB}\) - bijekcji tysięcznej są dostępne w .
Jak widać, dzięki takiej bijekcji każdej liczbie naturalnej zostanie przypisany tekst i każdy tekst będzie miał swój jedyny odpowiednik w postaci liczby naturalnej.
Niestety większość tych tekstów będzie bezsensowna, ale będą wśród nich również wiersze Leśmiana, rozprawy naukowe i Wielka Encyklopedia Brytyjska. Ba – będą tam nawet teksty, które dopiero powstaną – łącznie z przyszłymi odkryciami, tylko z teraźniejszego punktu widzenia nieodróżnialne od fejków = wiadomości z gruntu fałszywych.
Jeśli analizujemy wszystkie teksty, to nie możemy w jakimś momencie stwierdzić, ze dany tekst nie może istnieć, bo ustalono pewne reguły tworzenia tekstów, a ten badany ich nie spełnia – co najwyżej możemy go ocenić: spełniający pewne warunki lub nie, sensowny czy bezsensowny, dobry czy zły czy taki sobie, prawdziwy czy fałszywy, zrozumiały czy bełkotliwy, przydatny czy też nie, itd.
I tym, istotnym problemem selekcji tekstów sensownych, prawdziwych i na dany temat, spośród innych bezsensownych i fałszywych, dalej się zajmiemy wykorzystując pewne weryfikacyjne kryteria wyboru \(\displaystyle{ VP}\), zaproponowane zresztą przez Cantora. Zwrócimy przy tym baczną uwagę na jednoznaczność danego tekstu, który niezależnie od okoliczności i interpretacji indywidualnej jesteśmy wszyscy gotowi za prawdziwy i wolny od wad zgodnie z zasadami logiki.
----------------------
Skonstruujmy \(\displaystyle{ f}\) - ciąg liczb rzeczywistych zdefiniowanych tekstowo:
\(\displaystyle{ f : \NN\ni r\to T _{r}\equiv x _{r}\in(0,1)⊂\RR}\) powstały z wszystkich możliwych tekstów zawierających na początku kilka wybranych arbitralnie tekstów \(\displaystyle{ ASAB}\) w wyniku weryfikacji \(\displaystyle{ VP}\) polegającej na sprawdzeniu możliwości wypisywania kolejnych cyfr rozwinięcia binarnego liczb \(\displaystyle{ x _{r}}\) definiowanych przez teksty \(\displaystyle{ Tn}\), z dowolnie dużą ilością znaków.
gdzie \(\displaystyle{ T _{r} }\)- zweryfikowany przez \(\displaystyle{ VP}\) tekst definiujący liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x _{r}}\) z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\)
teksty inicjacyjne \(\displaystyle{ ASAB}\):
\(\displaystyle{ T1:= 0,5}\)
\(\displaystyle{ T2:= \frac{3}{4} }\)
\(\displaystyle{ T3:=}\) \(\displaystyle{ utwórz \ zapis \ liczby \ rzeczywistej \ wybierając \ metodą \ przekątniową \ cyfry \ z \ rozwinięć \ binarnych \ liczb }\)\(\displaystyle{ (zdefiniowanych \ tekstowo)}\) \(\displaystyle{ w \ ciągu \ liczb \ rzeczywistych }\) \(\displaystyle{ f}\),
\(\displaystyle{ T4:=}\) \(\displaystyle{ utwórz \ zapis \ liczby \ rzeczywistej \ wybierając \ metodą \ przekątniową \ cyfry \ z \ rozwinięć \ binarnych \ liczb }\)\(\displaystyle{ (zdefiniowanych \ tekstowo)}\) \(\displaystyle{ w \ ciągu \ liczb \ rzeczywistych }\)\(\displaystyle{ f}\),\(\displaystyle{ zamieniając \ cyfry \ znajdujące \ się \ po \ przecinku \ na \ przeciwne \ cyfry.}\)
\(\displaystyle{ T5:= tu \ wstaw \ swój \ pierwszy \ tekst\\
T6:= \ tu \ wstaw \ swój \ drugi \ tekst}\)
----------koniec definicji \(\displaystyle{ f}\) ----
\(\displaystyle{ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad VP(Ti)}\)
\(\displaystyle{ ASAB(1)=T1=0,5 ⇒ 0,1000000000... ⇒ f(1)=0,5}\)
\(\displaystyle{ ASAB(2)=T2= \frac{3}{4} \ ⇒ 0,1100000000... ⇒ f(2)= \frac{3}{4} }\)
\(\displaystyle{ ASAB(3)=T3 \quad \quad \quad ⇒ 0,11?....... .. ⇒ f(3)\ne T3}\)
Co tu wstawić zamiast pytajnika? Pasuje każda cyfra, czyli może być zarówno \(\displaystyle{ 0,110}\) jak i \(\displaystyle{ 0,111 }\) a zatem ten tekst nie określa jednoznacznie liczby (nie wiadomo czy definiowana przez ten tekst liczba jest większa od \(\displaystyle{ \frac{13}{16}=0,1101 _{2} }\)) i nie można go umieścić w ciągu \(\displaystyle{ f.}\)
\(\displaystyle{ T4}\) różni się od \(\displaystyle{ T3}\) końcową operacją, która powinna zmieniać cyfry już wygenerowanej liczby utworzonej z cyfr liczb w ciągu po przekątnej, ale ponieważ tej wcześniejszej nie można utworzyć, więc i dalsze działania jej nie poprawią, choć oczywiście dwie pierwsze cyfry byłyby jeszcze poprawnie określone: \(\displaystyle{ 0,00?}\)
Tylko, że tym razem już nie potrafimy zamiast pytajnika \(\displaystyle{ ?}\) wstawić żadnej cyfry! \(\displaystyle{ f(3)≠ T4}\)
Warto zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy tekstami \(\displaystyle{ T3}\) i \(\displaystyle{ T4}\): O ile tekst \(\displaystyle{ T4}\) jest znanym powszechnie tekstem konstrukcyjnym Cantora liczby rzeczywistej, polegającym na tworzeniu liczby, która różni się od wszystkich innych w ciągu cyfrą znajdującą się na diagonalnej ciągu - to w tekście \(\displaystyle{ T3}\) brak ostatniej operacji zamiany cyfr na przekątnej powoduje, że tworzona liczba powinna na tej diagonalnej ciągu być zgodna z każdą z liczb znajdujących się w ciągu.
Na razie stworzyliśmy ciąg dwuwyrazowy tekstów definiujących liczby rzeczywiste wykorzystując arbitralnie wskazane przeze mnie teksty.
Jeśli ktoś ma zastrzeżenia do zaproponowanego tekstu metody przekątniowej Cantora, którą odrzuciłem i którą powyżej oznaczyłem kolorem zielonym w tekście \(\displaystyle{ T4}\) i zna inną wersję to może ją dodać na pozycję \(\displaystyle{ T5}\) bez zamiany cyfr lub \(\displaystyle{ T6}\), jako kandydatów na następne miejsca w ciągu, co nie zmieni ich braku kreatywności liczby rzeczywistej.
Powyższe rozumowanie pokazuje, że metoda diagonalna Cantora również tu zawodzi, nie generując liczb nawet w tak prostych przypadkach. Czyli nie dowodzi nieprzeliczalności liczb rzeczywistych.
Uwaga: Ktoś może pomyśleć, że do utworzonych powyżej ciągów (podzbiorów i liczb rzeczywistych) można teraz zastosować metody Cantora tworzenia nowych obiektów, ale teksty je tworzące na pewno były wcześniej rozpatrywane i odrzucone i każda próba ponownego ich dołączenia w odpowiednim miejscu w ciągu, jako tekstu pominiętego, doprowadzi do powtórnego stwierdzania ich wadliwości przez \(\displaystyle{ VP}\) wskutek samoodniesienia.
I na koniec fundamentalne pytania związane z tytułem tego artykułu:
1. Czy istnieje liczba rzeczywista nie zdefiniowana przez żaden tekst w ciągu \(\displaystyle{ f}\) ?
2. Jaka jest moc zbioru liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathfrak{C}}\) z ciągu \(\displaystyle{ f}\)?
3. Jak powyższe ma się do \(\displaystyle{ CH}\) ?