Logarytm naturalny - dlaczego?

memex · Post autor: **memex** » 2 paź 2006, o 09:52

Witam! Jako że jestem tu "nowy" , na wstępie chciałem przywitać wszystkich stałych bywalców niniejszego forum.
Mam jedno proste pytanko. Dlaczego logarytm naturalny nosi nazwę naturalny? Co jest w nim takiego naturalnego? Znam oczywiście wiele ciekawych i wyjątkowych własności liczby e, znam jej genezę, ale brak mi przekonującego wytłumaczenia dla nazwy logarytmu naturalnego. Dlaczego akurat taka nazwa? Czy pochodzi ona stąd, że liczba e w naturalny sposób pojawia się w wielu matematycznych zagadnieniach?

Temat przeniosłam.
Lady Tilly

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 2 paź 2006, o 10:10

Chociażby dlatego jest wyjątkowy i "naturalny", że pochodna wyrażenia \(\displaystyle{ e^x}\) jest równa właśnie \(\displaystyle{ e^x}\). Czyli innymi słowy funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\), która jest równa swej pochodnej to właśnie \(\displaystyle{ e^x}\) Nie wszystkie potęgi mają tę własność, a \(\displaystyle{ e^{x}}\) akurat ją ma. Dlaczego nazwano ten logarytm "naturalnym" - być może m.in. dlatego, że pochodna logarytmu naturalnego z liczby \(\displaystyle{ x}\) opisywana jest wyjątkowo prostym wzorem \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\). Liczba \(\displaystyle{ e}\) (\(\displaystyle{ e}\) od nazwiska Euler) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n}}\) i przewija sie w wielu wzorach podobnie jak liczba pi. Liczba \(\displaystyle{ e}\) jest np. uwikłana w "najpiękniejszy wzór matematyki", czyli \(\displaystyle{ e^{ \left( i{\cdot}\pi \right) }=-1}\). Euler udowodnił, że liczba \(\displaystyle{ e}\) umożliwia zamianę liczby zespolonej z postaci wykładniczej na algebraiczną. Stąd jej wyjątkowe znaczenie. Ponadto można pokazać jak liczba \(\displaystyle{ e}\) w "naturalny" sposób pojawia się np. w bankowości. Widac więc, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest liczbą wyjątkową i w "naturalny" sposób, "mimo woli" Eulera przewija się w wielu podstawowych wzorach matematycznych.

memex · Post autor: **memex** » 2 paź 2006, o 11:01

Lady Tilly, czy to jakiś żart? Po prostu skopiowałaś mój post z polskiego forum historyków. Brak mi słów A le z drugiej strony widocznie dobrze kombinowałem
Zdążyłem już ten post trochę zmodyfikować, ale bez wątpienia popełniłas plagiat

Kod: Zaznacz cały

http://www.historycy.org/index.php?showtopic=22557&pid=206220&st=0&#entry206220

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 2 paź 2006, o 11:18

Hmm, to nie żart, koncepcja logarytmu naturalnego jest po prostu taka, przeglądając strony natkniesz się w zasadzie na to samo. Dziwi mnie wobec tego tylko jedno:odpowiadasz sobie najpierw sam na pytanie (i to poprawnie) a potem zadajesz je na forum? dziwne trochę, nieprawdaż? skoro znasz odpowiedź to po co zadajesz pytanie?
Twoja koncepca też, niestety nie jest zbyt oryginalna ,zobacz np. tu.
poza tym to każdy z nas w pewnym sensie dokonuje plagiatu stosując np. twierdzenie Pitagorasa, ale czy jedynie Pitagoras może z owego twierdzenia korzystać? nie, prawda? Pan Pitagoras dziś nie żyje a jego twierdzenie używane jest do dziś. A jeśli chodzi o Twoją tezę jest ona równie stara jak wspomniane twierdzenie.

memex · Post autor: **memex** » 2 paź 2006, o 11:35

Chciałem usłyszeć zdanie rasowych matematyków. Chciałem np. usłyszeć kto właściwie po raz pierwszy użył nazwy logarytm naturalny i dlaczego ten logarytm uznał za taki naturalny. Moje dywagacje na historycy.org to tylko próba znalezienia odpowiedzi, ale przyznasz, że odpowiedzi konkretnej "kto, gdzie, kiedy, dlaczego...?" nie udzieliłem. A właśnie o to chodziło czlowiekowi, który o to pytał. Rozumiem, że właściwie jest to zgadnienie nieistotne, ale z punktu widzenia historyków może być ciekawe.
A więc pytam jeszcze raz - kto i dlaczego wymyślił nazwę logarytm naturalny.

P.S.
Swoją drogą po moderatorze niniejszego szacownego forum spodziewałem się czegoś więcej niż skopiowania postu bez zaznaczenia, że to cytat Ale spuśćmy już na ten fakt zasłonę milczenia...

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 2 paź 2006, o 11:51

W takim razie przepraszam. po prostu zgadzam się z całkowicie z tym co piszesz. Jak dokładniej "wczytasz" się w tekst, który Ci podałam w linku dostrzeżesz, że definicja logarytmu związana jest z panem, który nazywa się Felix Klein (1849-1925)

memex · Post autor: **memex** » 2 paź 2006, o 12:08

Nie ma sprawy Nie chodziło mi wcale o to aby wymuszać przeprosiny za ten - nawiasem mówiąc - dość humorystyczny przypadek. Dziękuję za ciekawy link. Ja rozumiem, dlaczego logarytm naturalny jest naturalny - mam nadzieję, że mój rozmówca na historycy.org też wreszcie poczuje "naturalnośc" liczby e
Pozdrawiam.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 25 lip 2016, o 14:02

In searching through the literature I found essentially only three reasons why logarithms to the base \(\displaystyle{ e}\) can justly be called natural logarithms. The three reasons are: (1) \(\displaystyle{ e}\) is a quantity which arises frequently and unavoidably in nature, (2) natural logarithms have the simplest derivatives of all the systems of logarithms, and (3) in the calculation of logarithms to any base, logarithms to the base \(\displaystyle{ e}\) are first calculated, then multiplied by a constant which depends on the system being calculated.

luźne tłumaczenie; W źródłach istnieją /można znaleźć/ tylko trzy istotne powody, dla których logarytmy przy podstawie \(\displaystyle{ e}\) mogą być nazwane naturalnymi. Są one takie: (1) \(\displaystyle{ e}\) jest wielkością częstą i nieodłączną dla opisu różnych zjawisk (2) Spośród innych logarytmów mają one najprostszą formę pochodnej (3) Dla obliczenie logarytmu przy dowolnej podstawie, jest obliczany logarytm naturalny a następnie mnożony przez stałą zależną od podstawy tego logarytmu

in nature = natural
tj.
\(\displaystyle{ \log_a \ b= \frac{\ln(b)}{\ln(a)}}\)

źrodło: ... b_contents
oraz
... redirect=1

https://www.quora.com/Why-is-the-logari ... -logarithm

xvim · Post autor: **xvim** » 14 lis 2016, o 23:34

Należy zauważyć do czego logarytmy były pierwsze stosowane. Była to astronomia. John Napier około 80 lat przed "odkryciem" logarytmów w sposób skodyfikowany, faktycznie wprowadził je w formie tablic ułatwiających mnożenie i dzielenie liczb (poprzez zamianę ich na dodawanie/odejmowanie). Do tego celu najlepiej nadaje się logarytm o podstawie \(\displaystyle{ e}\). Tej liczby jeszcze nie znano, dopiero jej zastosowanie przez Napiera, zaczęło zainteresowanie tą liczbą przez matematyków. Zresztą \(\displaystyle{ e}\) nazywano ( a i bardzo rzadko nadal się to robi), liczbą Napiera (Nepera - w tych czasach często używano łaciny i latynizowanych nazwisk).

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 13 maja 2020, o 15:49

film z 3Blue1Brown --> What makes the natural log "natural"?

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 lis 2023, o 21:58

Chat GPT :

Funkcja \(\displaystyle{ ln(x)}\), zwana logarytmem naturalnym, to logarytm o podstawie \(\displaystyle{ e}\), gdzie e to liczba Eulera (około \(\displaystyle{ 2.71828}\)). Nazwa "naturalny" wynika z szerokich zastosowań tej funkcji w matematyce i naukach przyrodniczych.

Oto kilka powodów, dla których \(\displaystyle{ ln(x)}\) jest nazywany logarytmem naturalnym:
1. Bardzo szerokie zastosowania w matematyce i fizyce: Funkcja \(\displaystyle{ ln(x)}\) jest szeroko używana w różnych dziedzinach matematyki, takich jak analiza matematyczna, równania różniczkowe, teoria prawdopodobieństwa, a także w fizyce, zwłaszcza w dziedzinach związanych z procesami wykładniczymi, prawem zaniku i wieloma innymi obszarami nauki.
2. Właściwości liczby Eulera: Liczba \(\displaystyle{ e}\) pojawia się naturalnie w wielu problemach matematycznych i nauk przyrodniczych. Jest ona podstawą wykładniczej funkcji matematycznej, \(\displaystyle{ e^x}\) , która jest szczególnie ważna w kontekście przyrostów proporcjonalnych (np. procesy wzrostu wykładniczego).
3. Prosta pochodna: Pochodna funkcji \(\displaystyle{ ln(x)}\) ma prostą i elegancką postać, co sprawia, że jest łatwa do obliczeń. Pochodna \(\displaystyle{ ln(x)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\), co jest proste w porównaniu do niektórych innych funkcji.
4. Podstawowa rola w rachunku różniczkowym: Logarytm naturalny pełni kluczową rolę w rachunku różniczkowym i całkowaniu, zwłaszcza w kontekście całkowania funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\) . Wzory związane z \(\displaystyle{ ln(x)}\) pojawiają się często w analizie matematycznej.

Podsumowując, \(\displaystyle{ ln(x)}\) nazywany jest logarytmem naturalnym ze względu na swoje powszechne zastosowanie w matematyce i naukach przyrodniczych oraz związek z liczbą Eulera, która jest jednym z fundamentalnych stałych matematycznych.

Matematyka.pl