Matematyka.pl

Jak powstały? Przecież one były ZAWSZE (ktoś powie)
Wyjaśniając — może posłużę się pewnego rodzaju przenośnią:

Wyobraźmy sobie puste pole, na którym nie rośnie \(\displaystyle{ nic}\). Przenośnia ta oznacza, że mamy \(\displaystyle{ początek }\) \(\displaystyle{ Świata }\)(a na początku było SŁOWO. Choć wg niektórych w-odór...), no i nie istnieją jeszcze żadne liczby. Musimy je wyprodukować. No, ale tak z niczego? To jasne: potrzebujemy jakichś materiałów wyjściowych. A że Bóg jest szczodry, to przysyła nam z nieba paczuszkę, a w niej znajdujemy zero (no, oczywiście nie zauważamy go!), jedynkę, którą już zauważamy, oraz + (plusik), którego znaczenia w pierwszej chwili jeszcze nie rozumiem, a to jest symbol dodawania.

Dobry Bóg wie, że jesteśmy dzieckiem krnąbrnym, i gdyby nam przysłał liczb zbyt dużo, to byśmy sobie jeszcze nimi zrobili \(\displaystyle{ krzywdę}\). Musimy nauczyć się ich używania, zaczynając od niewielkiej ilości, jaką zdołamy sobie zrobić \(\displaystyle{ sami}\), mając do dyspozycji tylko to, co znajduje się w tej paczuszce.

Po chwili zauważamy również zero, bo chociaż krnąbrni, to jesteśmy jednak dosyć spostrzegawczy, wszak jesteśmy dziećmi Bożymi. Mając te trzy elementy: \(\displaystyle{ 0}\), jedynkę, oraz ten plusik — łączymy je, i co otrzymujemy? Otrzymujemy... \(\displaystyle{ jedynkę!}\) Przy czym nie jest to ta sama jedynka, którą dostaliśmy od Boga, i która jest (można rzec) na kredyt, ale jest to jedynka \(\displaystyle{ nowa}\), którą już zrobiliśmy sobie \(\displaystyle{ sami}\).

Tak więc w tym momencie mamy przed sobą \(\displaystyle{ DWIE }\) jedynki.... Mamy też plusik, więc używamy go, i dzięki posiadaniu aż dwóch jedynek, otrzymujemy teraz dwójkę. Trochę nas to zniechęca, ponieważ żadne dziecko nie lubi dostawać \(\displaystyle{ dwójek}\), w związku z tym wpadamy na pomysł, żeby jedynkę otrzymaną od Pana Boga, odesłać mu z powrotem.

Jedynka jest to obiekt, jest to pewna wartość, tak jak 1 dolar. Jeśli wzięliśmy ją od Boga, to jest to swojego rodzaju kredyt: musimy go zwrócić. Nie musimy rzecz jasna zwracać zera, nikt przecież tego nie robi.

Nie musimy też oddawać plusika, ponieważ nie jest to obiekt, jest to pewna idea, a idee mają to do siebie, że propagują się przez nauczanie, można powiedzieć, że są darmowe. Co oczywiście w pełni prawdą nie jest: niektóre idee są bardzo kosztowne, \(\displaystyle{ bardzo...}\)

Mamy więc już jedynkę \(\displaystyle{ swoją}\), własnoręcznie zrobioną, i również zrobioną własnoręcznie liczbę 2. Można rzecz że liczba jeden została przez nas skopiowana z tej Boskiej jedynki, niejako \(\displaystyle{ sklonowana}\). Natomiast liczba 2 jest już w pełni wykonana samodzielnie: można rzec, że jest \(\displaystyle{ pierwsza...}\)

— Fajna sprawa, fajna sprawa (myślimy sobie): zrobiliśmy liczbę pierwszą! Zróbmy sobie w takim razie drugą...

Bierzemy więc dwójkę, jedynkę, oraz plusik, no i w ten sposób otrzymujemy trójkę: jak się jednak okazuje, jest ona drugą \(\displaystyle{ liczbą}\)... \(\displaystyle{ pierwszą}\). Ponieważ mamy tylko dwie ręce, to zbyt dużo w nie się nie mieści. Zastanawiamy się więc, w co te ręce włożyć, czy też odwrotnie: co w te ręce wziąć. Zero i jedynka nieco nam już się znudziły, Bierzemy więc dwójkę, trójkę, oraz plusik, i otrzymujemy w ten sposób piątkę, trzecią ... \(\displaystyle{ liczbę }\) \(\displaystyle{ pierwszą}\).

Jako że jesteśmy dzieckiem bystrym, Dzieckiem Bożym, to zauważamy, że pomiędzy trójką a piątką \(\displaystyle{ czegoś}\) brakuje.

Proszę jednak z sali nie podpowiadać, bo Wy wiecie czego tam brakuje, a to małe dziecko nigdy jeszcze tego na oczy nie widziało, więc nie ma pojęcia czego, ale wie, że jednak brakuje. Czyż nie jest to bardzo bystre dziecko?

Zauważmy, że za pomocą pojedynczego dodawania, z otrzymanych obiektów, tego brakującego elementu — żadną miarą zrobić nie sposób. A plusik mamy tylko jeden... Również wszystkie wymienione obiekty są \(\displaystyle{ pojedyncze}\), w związku z tym, wygląda na to, że doszliśmy do ściany...

Jednak w paczuszce było jeszcze coś, ale dziecko go nie zauważyło, ponieważ był to "\(\displaystyle{ znak}\)" niemal zupełnie niewidoczny (dużo bardziej niewidoczny niż zero: wszak "0" w równaniach widać całkiem dobrze!). Był to znak mnożenia, które w matematyce bardzo często jest pomijane, ponieważ zamiast pisać (\(\displaystyle{ a}\) razy \(\displaystyle{ b}\)) — matematycy piszą po prostu \(\displaystyle{ (ab)}\).

Na marginesie: prawda że \(\displaystyle{ nadawca }\) paczuszki był dosyć \(\displaystyle{ przewrotny}\)?

Ale dziecko zagląda do paczuszki, obraca ją na wszystkie strony, a znak mnożenia wskakuje pomiędzy dwójkę i plusik, i nagle są aż dwa plusiki! Dzięki tym dwóm plusikom, dziecko wykonuje działanie następujące:

2 ++ 1 = 4

Tak napisane dwa plusiki, oznaczają w języku potocznym: dodaj dwa razy jedynkę... Cóż, dodaj dwa razy, to poniekąd znaczy \(\displaystyle{ pomnóż }\) przez 2 dodawaną liczbę, ale mnożenia przecież w paczuszce nie było... \(\displaystyle{ widać!}\)

Otóż o ile obiekty są rzeczą niepodzielną, to idee można dzielić, i mnożyć w nieskończoność, dziecko zauważa stojącą zatem możliwość kolejną, i dodaje do siebie kilka plusików, według następującego równania:

++ (++) = \(\displaystyle{ 4}\)(+)

Co odczytać należy, jako dodaj (\(\displaystyle{ coś }\) — cokolwiek!) 4 razy. W ten sposób dziecko na własną rękę odkrywa mnożenie. Nadawca paczuszki był mądry, przewidział bowiem, że coś takiego nastąpi...

Zapisanie obok siebie dwóch (symbolizujących liczby) znaków "\(\displaystyle{ ab}\)" — do nieporozumień nie doprowadzi, ale jeśli zapiszemy obok siebie dwie czwórki, z intencją, że należy je przez siebie wymnożyć, to zamiast \(\displaystyle{ 16}\), otrzymamy \(\displaystyle{ 44}\) — a to jednak przecież nie to samo!

Ale jednak okazuje się, że znak mnożenia w paczuszce był. Lecz ponieważ miał on wielkości punktu, a jak wiadomo punkt rozmiarów nie ma, w związku z tym był praktycznie niewidoczny. Ale dziecko jest bardzo dociekliwe, więc jakoś ten punkt wyłuskało, i użyło jako znak mnożenia.

Podziękujcie mu więc za to, bo bez znaku mnożenia bylibyśmy... w kropce!

Ścieżką obok przechodził zadumany pan Dirichlet. Myślał o swoich ważnych derichletowych sprawach, ale przystanął, i w zamyśleniu błądząc wzrokiem spojrzał na bawiące się dziecko.

Och (pomyślał sobie), jakie miłe.
No, i jak mało ma klocków...

Postanowił mu więc podarować kilka klocków swojego synka. Jego synek bawił się \(\displaystyle{ alfabetem}\), w związku z tym miał tych klocków już dosyć dużo, ponieważ paczuszkę z alfabetem dostał z góry w całości.

Litery można wymawiać dowolną ilość razy, i raczej nam ich nie zabraknie. Nie są w tym podobne do liczb, ponieważ liczb nie można dodawać, ani mnożyć, bez pewnych tego \(\displaystyle{ konsekwencji}\). Oczywiście \(\displaystyle{ nadużywając }\) liter, też możemy zrobić coś złego, ale na razie nie zajmujmy się tym.

Pan Dirichlet wyjął z kieszeni na chybił trafił kilka liter, i zaczął razem z dzieckiem się bawić.

A ponieważ równocześnie myślał o swoich dirichletowych sprawach, więc po chwili na piasku ułożył:

\(\displaystyle{ p + qN}\)

i wpoił od razu dziecku ten nawyk, że o ile \(\displaystyle{ N}\) jest w tym wzorze zmienną, i będzie przybierać kolejne (w ogólności: dowolne) wartości, to \(\displaystyle{ p}\), oraz q — mają być liczbami \(\displaystyle{ względnie}\) \(\displaystyle{ pierwszymi}\). Ten ciąg, czy raczej ciągów \(\displaystyle{ grupa}\) — produkuje nieskończenie wiele liczb pierwszych, dla dowolnego \(\displaystyle{ zestawu}\) tych liczb, spełniających podany przez pana Dirichleta warunek. Dziecko trochę się zafrasowało tą nieskończoną ilością, ponieważ nie miało jeszcze skrzyni na zabawki, i zmartwiło się, że jeżeli naprodukuje zbyt dużo liczb, to mu zaśmiecą piaskownicę.

Gdy pan Dirichlet poszedł za swoimi ważnymi, dirichletowymi sprawami, dziecko poprawiło podany przez niego wzór, wstawiając pomiędzy \(\displaystyle{ q}\) a \(\displaystyle{ N}\) ten znaleziony w paczuszce punkcik, czyli kropkę, żeby było wiadomo co ten wzór robi, i jak... Po czym poszło do domu spać, bo kiedyś spać trzeba.

Ale następnego dnia, już wcześnie rano, ledwo tylko wzeszło Słońce, już było w piaskownicy, ponieważ liczby bardzo je interesowały, chciało więc zobaczyć, co jeszcze z nimi można zrobić.

Po drodze spotkało Pana \(\displaystyle{ Eratostenesa}\), mądrego człowieka, i wiedząc że jest to mądry człowiek, zaczęło z nim rozmawiać o problemie nadmiaru liczb.

Pan Eratostenes wyjaśnił mu, że dodając liczby do siebie, będzie się je tworzyć dosyć wolno, ale szybszą metodą tworzenia liczb dużych, jest ich mnożenie. Dziecko znało już mnożenie, ponieważ jak powiedzieliśmy, było to bardzo sprytne dziecko, dziecko Boże...

Mnożąc przez siebie dowolne dwie, albo i \(\displaystyle{ większą}\) ilość liczb (wyjaśniał dalej pan Eratostenes) otrzymamy \(\displaystyle{ wyłącznie}\) liczby \(\displaystyle{ złożone}\), nie ma takiej możliwości, abyśmy otrzymali liczbę pierwszą. Liczb pierwszych nie można otrzymywać przez mnożenie, a tylko i wyłącznie przez dodawanie, i tu pokazał ręką na wzór pana Dirichleta.

A z liczb pierwszych (dopytywało się dziecko) da się otrzymać każdą liczbę złożoną?

— Ooo, tak (odparł pan Eratostenes). Każdą. Dlatego tak naprawdę istotne są liczby pierwsze, ponieważ one stanowią swoistego rodzaju budulec, z którego wykonujemy wszystkie inne liczby. Liczby złożone też są potrzebne, ale według mnie one są nudne, nie widzę w nich nic interesującego.

A co zrobić (dopytywało się dziecko) żeby na półce poukładać sobie tylko liczby pierwsze, jak odróżnić je od złożonych? (Jak widzicie było to bardzo sprytne dziecko, i stawiało bardzo mądre \(\displaystyle{ pytania}\))

No cóż (Eratostenes), przecież powiedział ci to pan Dirichlet, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, wynika to z jego dowodu. Ale możesz sobie na swojej półce poukładać tych liczb bardzo dużo, dowolną, ale jednak skończoną ich ilość, tyle, ile ci będzie potrzebne do zabawy...

A jeśli uważasz, że liczby złożone w tej chwili nie będą ci do niczego potrzebne, to masz tutaj \(\displaystyle{ sito}\), i tym sitem wyłowisz liczby pierwsze, bo specjalnie w tym celu jest stworzyłem.

Jeżeli ktoś dotarł do tego miejsca mojego bardzo długiego wywodu, to zgaduję, że temat go interesuje, i że jest człowiekiem \(\displaystyle{ cierpliwym}\), \(\displaystyle{ otwartym}\), i \(\displaystyle{ dociekliwym}\). Powyższa opowieść nadaje się, jak sądzę, żeby je czytać Waszym dzieciom, o ile również, tak jak Wy — interesują się matematyką. Mam nadzieję, że uznają to opowiadanie za ciekawe, i myślę, że spowoduje to, że zainteresują się liczbami pierwszymi, a one przecież stanowią jądro teorii liczb, zaś teoria liczb stanowi \(\displaystyle{ jądro}\) \(\displaystyle{ matematyki}\)...


A teraz przejdźmy do zagadnień trudniejszych, jednak nie na tyle trudnych, żeby przerosły możliwości myślowe ucznia szkoły średniej.

Trzeba pamiętać o kilku rzeczach:

1. Możemy budować \(\displaystyle{ najróżniejsze}\) ciągi Dirichleta.
2. W tych ciągach czynnikiem sterującym jest liczba \(\displaystyle{ N}\) przyjmująca wartości od \(\displaystyle{ 1}\), do nieskończoności \(\displaystyle{ \infty }\)
3. Dobierając różne wartości \(\displaystyle{ p}\) oraz różne wartości \(\displaystyle{ q}\), z zastrzeżeniem Dirichleta, że mają być one względnie pierwsze — będziemy konstruować \(\displaystyle{ różne}\) jego ciągi.
4. I jest tak, że nie tylko \(\displaystyle{ każdy}\) taki ciąg produkuje \(\displaystyle{ nieskończoną}\) ilość liczb pierwszych, ale również samych tych ciągów — można skonstruować \(\displaystyle{ nieskończenie}\) \(\displaystyle{ wiele}\).
5. Jak z tego wynika, nie tylko zachodzi stwierdzenie, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, ale jest też nieskończenie wiele rodzajów liczb pierwszych, ze względu na pewną, wyróżnioną ich cechę, na przykład ich kongreuencje wobec jakichś, wybieranych arbitralnie liczb.
6. Przy czym narzuca się warunek \(\displaystyle{ niekonieczny}\), aby badać kongreuencje wobec liczb \(\displaystyle{ wyselekcjonowanych}\), i \(\displaystyle{ najlepszymi}\) takimi liczbami — są liczby stanowiące primorial (polska nazwa primorialu brzmi pierwsznia, patrz Wikipedia) — jakieś dużej liczby pierwszej.
7. Każdy ciąg Dirichleta produkuje liczby pierwsze z regularnością \(\displaystyle{ metronomu}\), lecz regularność ta jest zakłócana przez \(\displaystyle{ dziury}\), za które odpowiedzialne jest sito Eratostenesa.
8. Sito Eratostenesa też działa z regularnością \(\displaystyle{ metronomu}\), którego cykl zależy od wielkości danej liczby, w konkretnym momencie aktywnej, którą algorytm używa w danej pod-pętli.
9. Po czym wymienia liczbę pierwszą na kolejną, \(\displaystyle{ ponumerowaną }\) — i metronom Eratostenesa wtedy ma \(\displaystyle{ inny}\) \(\displaystyle{ takt}\), zależny od wielkości tej liczby \(\displaystyle{ nowej}\).
10. Mamy więc do czynienia z nakładającymi się na siebie falami, gdzie jedną \(\displaystyle{ grupę}\) fal stanowią fale generowane przez mechanizm Dirichleta, i mają one wiele \(\displaystyle{ różnych}\) częstotliwości.
11. Natomiast inne fale, inny \(\displaystyle{ rodzaj}\) fal — są generowane przez wycinanie całych \(\displaystyle{ regularnych}\) sekwencji dziur, sitem Eratostenesa.
12. No, i owe \(\displaystyle{ różne}\) fale nakładają się, i z tego powodu zachodzi \(\displaystyle{ dudnienie}\), \(\displaystyle{ interferencje}\), i wszelkie inne zjawiska, powodujące \(\displaystyle{ nieregularności}\) występowania liczb pierwszych.

Koniec prelekcji — \(\displaystyle{ kurtyna!}\)