teoria-liczb-f26/przyczynek-do-problemu ... l#p5666108 który zresztą też polecam, korzystając z okazji.
1. Dirichlet udowodnił
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze#Twierdzenie_Dirichleta, że w dowolnym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych: \(\displaystyle{ a, a+q, a+2q, a+3q...}\) — takim, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze, występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.2. Weźmy wybierzmy takie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ q}\), że są względnie pierwsze, a również \(\displaystyle{ a=(b+2)}\) jest względnie pierwsze dla \(\displaystyle{ q.}\)
3. Wtedy możemy utworzyć dwa ciągi Dirichleta, jeden jak wyżej,
4. zaś drugi taki, gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest równe \(\displaystyle{ (b+2)}\).
5. Ciągi te będą produkować kolejne liczby różniące się o czynnik \(\displaystyle{ 2}\), no i te produkowane liczby MOGĄ być, na mocy nadanej im przez Dirichleta — liczbami pierwszymi.
6. Połączmy je w pary tak, by "produkty" z jednego ciągu parować z tymi produktami z drugiego, które różnią się właśnie o czynnik \(\displaystyle{ 2.}\)
7. Wobec tego otrzymamy nieskończony zbiór takich par, i każda z nich jest POTENCJALNIE parą bliźniaczą. Potencjalnie, bowiem Dirichlet bynajmniej nie twierdził, że każdy wyraz opisanego jego imieniem ciągu — jest liczbą pierwszą, a jedynie wskazał, że ciąg taki produkuje liczb pierwszych nieskończenie wiele, a to jest spora różnica.
8. Tym niemniej mamy właśnie maszynkę generującą pary liczb potencjalnie bliźniaczych w nieskończoność. Maszynka owa posiada dość jasną, i prostą instrukcję obsługi, działa rekurencyjnie, i nie wymaga przeglądów okresowych, ani uzupełniania paliwa, czy oleju.
9. Nazwa maszynka nie jest adekwatna do potencjału opisanego powyżej, może powinno się raczej mówić fabryka. Bowiem wybierając inne wartości dla \(\displaystyle{ a, b}\) oraz \(\displaystyle{ q}\), byle spełniały warunek wyrażony w punkcie 2 — budujemy sobie maszynki kolejne, o innym "profilu produkcyjnym".
10. No i tych "innych profilów" znów może być nieskończenie wiele.
A że każdego produkcja biegnie w nieskończoność, to samych produktów mamy \(\displaystyle{ \infty^2}\).
11. A jeśli tak, to byłoby naprawdę dziwne, gdyby nagle coś w tej fabryce takiego się stało, że produkowane w nieskończoność nieskończoności pary — przestały by spełniać oczekiwania klientów-matematyków, co do ich prymarności.
