Matematyka.pl

W książce Ian-a Stewart-a 'Oswajanie nieskończoności. Historia matamatyki' są różne ramki z tytułami 'Co daje nam logika?', 'Co daje nam geometria wyższych wymiarów?', 'Co daje nam topologia?'... A ja zadam teraz pytanie: Co dają nam zbiory nieskończone
Nie chodzi mi tu o samą ideę nieskończoności (bo to jest w matematyce normalne), ale Georg Cantor przyjął, że nie kończące się liczby naturalne można zamknąć w jeden zbiór... Hm, ciekawe... I nie chodzi mi tutaj o to czy jest to opisane w sposób ścisły (bo zapewne jest- teoria mnogości na ważniaku o tym świadczy), lecz chodzi mi raczej tutaj o to, czy te zbiory nieskończone dają nam jakieś praktyczne korzyści?? Albo inaczej, czy nie przyjmując aksjomatu nieskończoności, czy coś tracę?? (W mojej książce 'Przystępny wstęp do matematyki' nie poruszam (i robiłem to celowo, aby pokazać, że na poziomie ogólnych definicji też można sporo zdziałać, a napisałem już 220 stron) tematu zbiorów nieskończonych, traktując je tak, jakby ich w matematyce nie było (no może coś tam ostatnio wspomniałem o ciągach nieskończonych...), a przed poruszeniem tematu zbiorów nieskończonych napiszę jeszcze trochę o zbiorze liczb rzeczywistych). Nie wiem... może bez nieskończonego zbioru liczb naturalnych nie można byłoby mówić o granicy ciągu (a to może być przydatne pojęcie, bo mamy dzięki temu krzywą Peano wypełniającą kwadrat, albo mamy fraktale, nie wiem...). Zna ktoś jakieś wymowne przykłady
(Poza przykładem mówiącym, że nieskończoność zbioru pozwala aby Achilles dogonił żółwia, tzn. nieskończoność zbioru pozwala wyjaśnić ten paradoks, ale zbiory nieskończone nie są tu koniecznym wyjściem z tej sytuacji, bo można od razu wziąć dwukrotność takiego pierwszego odcinka, i można łatwo wyliczyć, że wtedy Achilles dogoni tego żółwia). Czy ktoś zna inny przykład

Ponawiam moje pytanie, nie daje mi ono dzisiaj spokoju.
Czyżby matematycy brnęli w teorię zbiorów nieskończonych, nie potrafiąc jednocześnie wyjaśnić czemu ma to służyć(od strony praktycznej)?? Cóż za teoretycy (Ja też w matematyce wiele rzeczy rozważałem, ale większość z tych moich faktów to potrafię zilustrować, natomiast zbioru nieskończonego nie da rady zilustrować ).
O co chodziło Cantorowi, zakładając, że zbiór liczb naturalnych zawiera wszystkie liczby naturalne Jak zbiór może zawierać wszystkie liczby naturalne, jak do każdej można dodać jeden, i otrzymać kolejną, jeszcze większą liczbę naturalną?? To pozornie niewinne założenie, aby z wszystkich liczb naturalnych utworzyć zbiór, jest przełomowe dla rozwoju matematyki(dalej już jest wszystko jasne), więc ja teraz nie przejdę tutaj dalej, dopóki mnie ktoś tutaj nie przekona, że naprawdę warto to zrobić (-i nie uznaje ogólnikowych odpowiedzi w stylu: jest mnóstwo korzyści- poszukuję tutaj konkretnych przekonujących przykładów). Co wartościowego stracę odrzucając aksjomat nieskończoności (pomijając teoretyczne atrakcje).
Wszystkie liczby naturalne zamknąć w jeden zbiór- hm... pozornie, to wygląda to nawet niewinnie, ale zachodzi teraz pytanie:
Czy naprawdę warto to zrobić

Jeżeli X jest skończonym zbiorem wyposażonym w T2-topologię, to ta topologia jest dyskretna.

Wniosek - jeśli chcę badać ciekawe T2-topologie, muszę mieć jakiś nieskończony zbiór.

A jeszcze spytam:
Dlaczego topologia \(\displaystyle{ T _{2} }\) na zbiorze skończonym musi być dyskretna

Wstyd pytać o takie rzeczy, panie magistrze matematyki

Bo w takiej topologii singletony są domknięte (i dlatego nawet każda topologia \(\displaystyle{ T_1}\) na zbiorze skończonym jest dyskretna).

JK

Ale tu jest pytanie o zbiory otwarte...
Jeśli mamy zbiór skończony:
\(\displaystyle{ X= \left\{ x_1; x_2; \ldots; x _{n} \right\};}\)
z topologią \(\displaystyle{ T_1}\), oraz jeśli mamy dowolny podzbiór:
\(\displaystyle{ A=\left\{ x _{n_1}; x _{n_2}; \ldots; x _{n_k} \right\};}\) gdzie \(\displaystyle{ k \le n,}\) i gdzie \(\displaystyle{ n_i \in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\},}\) to:
\(\displaystyle{ A= \bigcup\limits_{i=1}^{k} \left\{ x _{n_i} \right\}; }\)
więc taki zbiór, jako suma skończenie wielu jednoelementowych zbiorów domkniętych, jest domknięty, ale tu jest pytanie o zbiory otwarte...
Może tak:
Tutaj każdy podzbiór \(\displaystyle{ X}\) jest domknięty, a zatem również każdy podzbiór \(\displaystyle{ X}\) jest otwarty, bo jeśli mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\), to zbiór \(\displaystyle{ A'=X \setminus A}\), z definicji dopełnienia, jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\), i ponieważ każdy podzbiór \(\displaystyle{ X}\) jest domknięty, to również zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest domknięty, a zatem zbiór \(\displaystyle{ A=\left( A'\right)'}\) jest otwarty, dobrze

Myślę, że powinieneś sam być w stanie ocenić poprawność rozumowań o tym stopniu złożoności.

JK

Jakub Gurak pisze: ↑20 kwie 2024, o 18:56 A jeszcze spytam:
Dlaczego topologia \(\displaystyle{ T _{2} }\) na zbiorze skończonym musi być dyskretna

Tak jak zauważył wyżej pan Jan, można zamienić T2 w moim poście na T1.

Załóżmy, że mamy skończoną przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X = \{x_1, \ldots, x_n\}}\), która spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Wtedy (na mocy "bycia T1") jest jakiś otwarty zbiór, który zawiera \(\displaystyle{ x_1}\), ale nie zawiera \(\displaystyle{ x_2}\). Podobnie istnieje otwarty zbiór, który zawiera \(\displaystyle{ x_1}\), ale nie zawiera \(\displaystyle{ x_3}\). (...) Podobnie istnieje otwarty zbiór, który zawiera \(\displaystyle{ x_1}\), ale nie zawiera \(\displaystyle{ x_n}\).

Tych zbiorów jest skończenie wiele (dokładnie to \(\displaystyle{ n-1}\)), więc ich przekrój też jest otwarty (bo rodzina zbiorów otwartych jest zamknięta na skończone przekroje). Ale łatwo widać, że przekrój wszystkich to \(\displaystyle{ \{x_1\}}\), więc ten singleton jest otwarty.

To samo rozumowanie można powtórzyć dla każdego innego punktu i dowieść, że wszystkie singletony są otwarte - a sama przestrzeń dyskretna.

Hir pisze: ↑19 kwie 2024, o 19:37 Wniosek - jeśli chcę badać ciekawe T2-topologie, muszę mieć jakiś nieskończony zbiór.

(No offence) A może nie chce badać ciekawych topologii bo nie mam takiej potrzeby. Temat zrobił się topologiczny; co samo w sobie nie jest złe ale nie wiem jak to się ma do pierwotnego pytania. Imho argumentacja potrzeby rozważania zbiorów nieskończonych powinna bazować jedynie na pojęciach skończonych, a dedukcyjne rozumowanie powinno prowadzić do nieuniknionej potrzeby rozważania zbioru nieskończonego. Powyższy wniosek nie prowadzi do koniczności rozważania zbiorów nieskończonych bo może zbiory skończone z topologią dyskretną to jedyne co mi do szczęści potrzebne. Wolałbym zobaczyć skończony problem rozwiązywalny (jedynie lub dużo prościej) nieskończonymi metodami. Coś jak indukcja. Można zauważyć, że kolejne sumy \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 1+2}\), \(\displaystyle{ 1+2+3}\), \(\displaystyle{ \dots}\) i tak dalej można zapisywać krótko. Jednak indukcyjny dowód tego skończonego w opisie faktu wymaga zbioru induktywnego. Najmniejszym takim zbiorem jest \(\displaystyle{ \omega}\). To jest dla mnie argument za tym, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest ważnym zbiorem. Innym przykładem są ciągi szybko rosnące takie jak \(\displaystyle{ \mathrm{TREE}(n)}\) opisujące realne liczby mające interpretacje dla grafów. Dowód, że \(\displaystyle{ \mathrm{TREE}(n)<\infty}\) (teoretycznie nie wymaga choć praktyka chyba wskazuje na cos innego) korzysta ze zbiorów nieskończonych.

To można wspomnieć jeszcze o dowodzie twierdzenia Goodsteina, gdzie samo sformułowanie nie używa nieskończoności, ale jego uzasadnienie już tak. To chyba nie jest topologia?

Poza tym cała analiza; bez nieskończoności "tracimy" wszystkie limesy.

Hir pisze: ↑20 kwie 2024, o 22:09 To można wspomnieć jeszcze o dowodzie twierdzenia Goodsteina, gdzie samo sformułowanie nie używa nieskończoności, ale jego uzasadnienie już tak.

Co więcej, bez "nieskończoności" nie da się go dowieść: https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem

Hir pisze: ↑20 kwie 2024, o 22:09 To można wspomnieć jeszcze o dowodzie twierdzenia Goodsteina, gdzie samo sformułowanie nie używa nieskończoności, ale jego uzasadnienie już tak.

Właśnie. To jest dobry przykład. Dosłownie zaraz po napisaniu pierwszego postu pomyślałem o pewnym PS z linkiem. Teraz będzie to prequel do twierdzenia Goodsteina https://www.youtube.com/watch?v=uWwUpEY4c8o

Wszystkie liczby naturalne zamknąć w jeden zbiór- hm... pozornie, to wygląda to nawet niewinnie, ale zachodzi teraz pytanie:
Czy naprawdę warto to zrobić

A co by powiedzieli na to goście z Hotelu Hilberta

Z rozmowy z pewnym logikiem dowiedziałem się kiedyś, że ZF bez aksjomatu nieskończoności to teoria równoważna arytmetyce Peano (I rzędu oczywiście). Nie wiem, czy dobrze zapamiętałem, ale to brzmi bardzo wiarygodnie.

Siłą wyrazu modeli skończonych dla rozmaitych teorii logicznych zajmował się prof. Marcin Mostowski, który zmarł kilkanaście lat temu. Jego uczeń dr hab. Leszek Kołodziejczyk, który się doktoryzował z tej tematyki, pracuje jednak na UW i można się do niego zwrócić.

Finityzm to ciekawe i wieloaspektowe zagadnienie. Znanym współczesnym przedstawicielem tego nurtu był Edward Nelson. Dawniej reprezentował go bodaj Kronecker. Również Wittgenstein był zwolennikiem finityzmu – przynajmniej według niektórych interpretacji.

Wątpię jednak, by to było tutaj przydatne, skoro niejasne jest, czy skończona przestrzeń T1 jest dyskretna.