Zadanie
Po nierównej wyboistej drodze, której pofałdowania odległe są od siebie o \(\displaystyle{ d = 4 \ \ m }\) jedzie, podskakując na resorach samochód o masie \(\displaystyle{ M = 1000 \ \ kg }\) wiozący cztery osoby o masach \(\displaystyle{ m = 82 \ \ kg }\) każda. Samochód podskakuje z największą amplitudą przy prędkości \(\displaystyle{ v = 16 \ \ \frac{km}{h} }\) Następnie samochód zatrzymuje się i cztery osoby wysiadają.
O ile samochód podniesie się na skutek zmniejszenia masy?
Analiza zadania
Zakładamy, że układ "samochód- osoby- resory" tworzy linowy oscylator harmoniczny.
Z równania wiążącego częstość kołową \(\displaystyle{ \omega }\) ruchu harmonicznego samochodu z jego masą \(\displaystyle{ M }\) i masą czterech osób \(\displaystyle{ 4\cdot m }\) i stałą sprężystości \(\displaystyle{ k, }\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{\frac{k}{M + 4\cdot m}} \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T} \ \ (2) }\)
Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ d }\) jest odległością przebytą przez samochód (ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v }\) między kolejnymi nierównościami) to okres drgań układu jest równy
\(\displaystyle{ T = \frac{v}{d} \ \ (3) }\)
Z równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) wyznaczamy stałą sprężystości \(\displaystyle{ k }\) resorów samochodu
\(\displaystyle{ \frac{2\pi \cdot v}{d} = \sqrt{\frac{k}{M + 4\cdot m}} \rightarrow \ \ k = ( M + 4\cdot m)\left(\frac{2\pi \cdot v}{d} \right)^2 \ \ (4) }\)
Przed opuszczeniem osób - obniżenie samochodu wynosi
\(\displaystyle{ x_{p_{i}} = \frac{ M + 4\cdot m\cdot g}{k}, \ \ i=1,2,3,... }\)
po opuszczeniu samochodu
\(\displaystyle{ x_{k} = \frac{M\cdot g}{k}. }\)
Samochód podniesie się na skutek zmniejszenia masy o
\(\displaystyle{ \Delta x = x_{p_{i}} - x_{k} = \frac{M + 4\cdot m\cdot g}{k} - \frac{M\cdot g}{k} = \frac{4\cdot m\cdot g}{k} = \frac{4\cdot m\cdot g}{M+4\cdot m}\left( \frac{d}{2\pi\cdot v}\right)^2 \ \ (5)}\)
Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (5) }\) wartość prędkości samochodu
\(\displaystyle{ v= 16 \ \ \frac{km}{h} = \frac{16000}{3600}\ \ \frac{m}{s} = 4, 44 \ \ \frac{m}{s}. }\)
\(\displaystyle{ \Delta x = \frac{4\cdot 82 (kg) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right) }{1000 (kg) + 4\cdot 82 (kg)}\cdot \left(\frac{4(m)}{6,28 \cdot 4,44 \left(\frac{m}{s}\right)}\right)^2 = 0, 050 \ \ m = 5 \ \ cm.}\)