Matematyka.pl

Aby wychylić wahadło o 10cm z położenia równowagi należy użyć siły 100N. Oblicz energię potencjalną i energię kinetyczną wahadła, gdy wychylenie jest równe 5cm.

Skorzystaj ze wzorów na oscylator harmoniczny:
\(\displaystyle{ F=kx_{1}}\) (\(\displaystyle{ x_{1}}\)=10 cm), stąd otrzymujemy k. Następnie:
\(\displaystyle{ E_{pot}=\frac{kx_{2}^{2}}{2}}\), natomiast:
\(\displaystyle{ E_{kin}=\frac{m\omega_{2}^{2}A^{2}cos^{2}\phi}{2}}\). Wiemy, że:
\(\displaystyle{ x_{2}=Asin\phi}\), stąd szybko: \(\displaystyle{ A^{2}cos^{2}\phi=A^{2}-x_{2}^{2}}\).
Z kolei: \(\displaystyle{ E_{pot}=\frac{m\omega_{2}^{2}A^{2}sin^{2}\phi}{2}=\frac{m\omega_{2}^{2}A^{2}(1-cos^{2}\phi}{2}}\). Teraz wiadomo: wyrażenie \(\displaystyle{ A^{2}cos^{2}\phi}\) zastępujemy wypisanym wyżej równaniem, korzystając z faktu, że energię potencjalną mamy policzoną, wyliczamy A i podstawiamy do wzoru.

Jakby coś było niezrozumiałe, to napisz.

nie mieliśmy takich wzorów... może da się to jakoś inaczej rozwiązać??

Pisząc "wychylenie" masz na myśli wychylenie w kierunku pionowym (tj. zmianę wysokości)?

nie, w kierunku poziomym....

Przybliżona siła, powodująca powrót do stanu równowagi, dana jest wzorem:

\(\displaystyle{ \large F=-\frac{mg}{l}x_{max}}\)

Siła ta równa jest sile, która odchyla wahadło z położenia równowagi i utrzymuje je w takim stanie, by potem umożliwić swobodny ruch; współczynnik "sprężystości" tej siły:

\(\displaystyle{ \large k=\frac{mg}{l}=\frac{F}{x_{max}}}\)

Energia potencjalna przy odchyleniu równym \(\displaystyle{ x=5\,cm=\frac{1}{2}x_{max}}\) wynosi:

\(\displaystyle{ E_p =\frac{kx^2}{2}=\frac{Fx^{2}}{2x_{max}}=\frac{Fx_{max}}{8}}\)

Energię kinetyczną uzyskujemy z zasady zachowania energii - suma energii potencjalnej i kinetycznej wahadła nie zmienia się w czasie:

\(\displaystyle{ \frac{Fx_{max}}{2}+0=\frac{Fx_{max}}{8}+E_k \\ E_k =\frac{3}{8}Fx_{max}}\)

mam jeszczę wielką prośbę, bo nie za bardzo wiem jak wyliczyłeś tą energię kinetyczną...
jakoś dziwny wydaje mi się ten wzór na zasadę zachowania energii, mógłbyś mi go wyjaśnić.

Wychodzisz z założenia, iż, jeżeli tylko drgania możemy początkowo uznać za nietłumione (brak np. dekrementu tłumienia), całkowita energia takiego układu nie zmienia się. Dla wahadła matematycznego przy założeniu małych wychyleń radialnych z położenia równowagi uznaje się, że siła powodująca powrót do położenia równowagi jest przyłożona do wahadła równolegle do powierzchni Ziemi, stąd staje się ona siłą sprężystości, dzięki której drgające wahadło posiada dwa rodzaje energii - kinetyczną (największa jest wtedy, gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi) i potencjalną sprężystości (maksymalną przy maksymalnym wychyleniu), równą \(\displaystyle{ \frac{kx^2}{2}}\).

Odchylając wahadło o pewien odcinek spowodowano dostarczenie mu energii potencjalnej, która - dzięki sile sprężystości - przetransformowana zostanie na energię kinetyczną podczas ruchu. Wychylenie, jakiemu poddano wahadło jest jednocześnie jego największym możliwym wychyleniem \(\displaystyle{ x_{max}}\), gdyż złamalibyśmy zasadę zachowania energii, gdybyśmy przyjęli, że wahadło może wychylić się o więcej, niż \(\displaystyle{ x_{max}}\). Stąd maksymalna siła powodująca powrót do położenia równowagi równa będzie \(\displaystyle{ F_{max}=kx_{max}=F}\), gdzie F dane jest w zadaniu. Stąd wyznaczasz współczynnik k, równy \(\displaystyle{ \frac{F}{x_{max}}}\), obliczasz całkowitą energię dla obu wychyleń (maksymalnego i jego połowy), porównujesz je, zauważając, że na całkowitą energię przy wychyleniu maksymalnym składa się jedynie energia potencjalna sprężystości, a w drugim położeniu energia potencjalna i kinetyczna.

mam jeszcze jedno pytanie co do ruchu harmonicznego więc nie będę zakładał nowego tematu mianowicie:
Ile razy zmieniło się wychylenie punktu drgającego w ruchu harmonicznym, jeżeli faza ruchu wzrosła od wartości \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) do wartości \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

Wzrosła od Π/2 do Π/3?

a mógłbym prosić jakieś obliczenia?
mógłby mi ktoś wogóle napisać co oznacza faza drgań?

Widzę że nie zrozumiałeś, o co mi chodzi... jak coś może wzrosnąc od 90° do 60°?

Obliczenia zrobisz sam - narysuj sobie okrąg - to będzie Twój wskaźnik fazy - punkt porusza się (drga) pionowo wokół środka okręgu. Kiedy jest na środku - jego faza wynosi 0, kiedy u góry maksymalnie - pi/2, z powrotem na środku - pi, na dole - 1,5pi. Nasz kąt odczytujemy, podróżując po okręgu od prawego jego "wierzchołka" w lewo do góry, razem z punktem materialnym podróżującym od środka do góry, spotykamy się w "wierzchołku" górnym okręgu - Ty zakreśliłeś po nim kąt pi/2, zaś nasze ciało "drgnęło" do maksymalnego wychylenia z położenia równowagi.

Widzisz, że wychylenie dla fazy pi/2 to po prostu amplituda A - zaś dla pi/3 - odpowiednio mniej, narysuj sobie na okręgu kąt od 0 do pi/3 i oblicz z funkcji trygonometrycznych, jakiemu pionowemu wychyleniu ze środka okręgu odpowiada pi/3 (oczywiście za pomocą A).

czyli faza oznacza położenie początkowe ciała?
i przy okazji co określa częstość drgań?

Faza powie, jakie jest aktualne położenie ciała w ruchu drgającym względem położenia równowagi, można rzec.

Częstość - jak prędkość kątowa, kąt zakreślony w czasie, 2pif albo 2pi/T. Widać ją na naszym okręgu, jak go obiegasz dookoła.

Częstość drgań to ilość cyklów (czyli pełnych drgnięć) na sekundę. Jeśli chodzi o parametry opisujące ruch harmoniczny tego typu to mamy:

Częstość oznaczana \(\displaystyle{ f}\) lub \(\displaystyle{ \nu}\) (literka grecka ni - ludzie starszej daty czasem mowia "niu") - ilość cyklów na sekundę wyrażana w hercach (\(\displaystyle{ 1 \rm{Hz} = 1 \frac{1}{\rm{s}}}\)).
Okres \(\displaystyle{ T}\)- czas wykonania pełnego cyklu, w jednostkach czasu czyli np. sekundach, związana z częstością zależnością: \(\displaystyle{ T = \frac{1}{\nu}}\),
Pulsacja (częstość kołowa) - \(\displaystyle{ \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}}\).
Funkcje trygonometryczne mają okresy w których jest \(\displaystyle{ \pi}\), dlatego wprowadza się pulsację dla wygody - wzory ładniej wyglądają;)

edit - ups PawelJan mnie ubiegl

Ups, no tak, tyle, ze mamy zamet terminologiczny - jedni mowia czestosc na pulsacje, a inni na 1/T, i ciezko tu do ladu dojsc