Matematyka.pl

(aby powiększyć rysunek wystarczy kliknąć w niego)

Stygar zostaje uderzony i wpada w szczelinę, dolatuje do końca i wraca. Jego hełmowi zostaje natomiast nadana 1 prędkość kosmiczna i leci po torze narysowanym na rysunku. Należy:
Udowodnić, że sztygar porusza się ruchem drgającym prostym, wyznaczyć okres drgań sztygara.
Udowodnić, że okres drgań sztygara jest równy okresowi obiegu hełmu wokół ziemi.

Rany boskie, coraz większą wyobraźnią dysponują autorzy tych zadań .

Zacznij od tego, iż siła grawitacji, która działa na sztygara zależna jest od promienia (czyli odległości od środka Ziemi) w sposób liniowy, zmienia się w czasie:

\(\displaystyle{ \large F(R)=\frac{GMm}{R^2}=\frac{G\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \sigma m}{R^2}=\frac{4}{3}G\pi R\sigma m}\)

Siła tę można przedstawić zgodnie z prawem Hooke'a jako iloczyn wychylenia z położenia równowagi (x, tutaj nasze R) i stałej sprężystości; korzystasz następnie ze wzoru podstawowego dla drgań harmonicznych:

\(\displaystyle{ \large \omega ^2=\frac{k}{m}}\)

Okres uda Ci się obliczyć ze wzoru:

\(\displaystyle{ \large T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\)

Wyprowadzenie okresu obiegu wokół planety nie będzie już chyba trudne?

no jednak chyba będzie:/ z jakiego wzoru wyznaczyć ten okres?

Musisz znaleźć czas, po jakim ciało z pierwszą prędkością kosmiczną obiegnie Ziemię, masz prędkość /prawda?/, masz drogę - 2Π*Rz, czas policzysz.

a co oznacza ten symbol: \(\displaystyle{ \sigma}\)
no i pozatym jak udowodnić że: sztygar porusza się ruchem drgającym prostym?

Zauważ, że symbol ten mnożony przez objętość Ziemi zastępuje jej masę - musi więc to być gęstość Ziemi /nie wiem, czemu nie ro /.

Ten symbol to gęstość . Masa to iloczyn objętości i gęstości...

Siła w ruchu drgającym prostym jest opisana zgodnie z prawem Hooke'a iloczynem pewnej stałej k (rzeczone \(\displaystyle{ \frac{4}{3}G\pi \sigma m}\)) i wychylenia z położenia równowagi. Siła przyjmuje wartość 0 dla R równego 0, zatem punkt równowagi w ruchu harmonicznym znajduje się w centrum planety. Stąd też R to wychylenie z tego położenia równowagi, czyli odległość sztygara od środka Ziemi.

PawelJan pisze:nie wiem, czemu nie ro

Tak się przyzwyczaiłem - przez \(\displaystyle{ \rho}\) oznaczam zwykle gęstość płynów - głównie wody .

Siła w ruchu drgającym prostym jest opisana zgodnie z prawem Hooke'a iloczynem pewnej stałej k (rzeczone ) i wychylenia z położenia równowagi. Siła przyjmuje wartość 0 dla R równego 0, zatem punkt równowagi w ruchu harmonicznym znajduje się w centrum planety. Stąd też R to wychylenie z tego położenia równowagi, czyli odległość sztygara od środka Ziemi.

tyle że myśmy chyba prawa Hooke'a nie brali:/ możesz powiedzieć na czym polega to prawo?

Oj, chociażby Wikipedia...

Najogólniej i najprościej: \(\displaystyle{ \vec{F}=-k\vec{x}}\), czyli siła działająca na ciało przymocowane do sprężyny o stałej sprężystości k jest wprost proporcjonalna do wychylenia x, czyli jej "rozciągnięcia", lecz przeciwnie zwrócona.

Samo prawo Hooke'a nie jest tutaj aż tak istotne - ale siła w ruchu harmonicznym prostym określona jest zależnoscią liniową \(\displaystyle{ F=-kx}\), analogicznie jak w prawie Hooke'a.

my mieliśmy też jakiś inny wzór na siłę w ruchu harmonicznym:
\(\displaystyle{ F=-m\omega^2x}\)
ten drugi:
\(\displaystyle{ F=-kx}\)
też mieliśmy przy energii potencjalnej siły sprężystości.
czyli tych wzorów można używać zamiennie przy ruchu harmonicznym?
no i powiedzcie mi jeszcze jaką wartość mam podstawić za k do wzoru na okres drgań sztygara?

Zgadza się - stała k określona może być jako iloczyn kwadratu częstości własnej i masy:

\(\displaystyle{ \large \omega ^2=\frac{k}{m}\Rightarrow k=\omega ^2 m \\ F=-kx=-m\omega ^2 x}\)

Ostrożnie jednak z używaniem paralelnym obydwu wzorów - postać znana z prawa Hooke'a mówi tylko, że siła sprężystości zależna jest liniowo od wychylenia. Siła w ruchu harmonicznym także zależy od wychylenia w sposób liniowy na podobieństwo do siły sprężystości, stąd analogia między nimi.

no ale czestość też trzeba jakoś obliczyć?
wracając do obliczenia okresu drgań hełmu:
t=s/v
t=2pi*6370000/7900=5063s
taki wyszedł mi okres obiegu hełmu wokół ziemi
i teraz jak to trzeba porównać z okresem sztygara?

Owszem.

Może zamiast porównywać same, konkretne wyniki liczbowe lepiej jest udowodnić, iż końcowe wzory opisujące okres obiegu hełmu i okres drgań sztygara są takie same.

Początek: Wyznacz okres drgań (samym wzorem) sztygara - wyjdzie ładny pierwiastek - następnie przekształć wzór równoważący siłą dośrodkową i grawitacyjną \(\displaystyle{ \large \frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \large v=\frac{2\pi R}{T}}\).