Matematyka.pl

Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili t = 0 ciało A zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna spadać w głąb tunelu z odległości r = RZ/2 od środka Ziemi. Obliczyć czas t, po którym ciała się spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia jest jednorodną kulą o promieniu RZ = 6400 km.


nie mam bladego pojęcia

Poświęć chwilę na przeanalizowanie tego ruchu; ciało w takim tunelu będzie wykonywało (pod wpływem siły grawitacji, która jest tu odpowiedzialna za ruch harmoniczny - przyciąga ciało zawsze do środka Ziemi) drgania wokół środka Ziemi (punkt równowagi; F=0), o amplitudzie równej początkowemu położeniu tego ciała. Czyli dostajemy równania ruchu;
\(\displaystyle{ x_{1,2}(t)=A_{1,2}cos(\omega t+\phi_{1,2})}\), gdzie
\(\displaystyle{ A_1=R_z;}\) \(\displaystyle{ A_2=\frac{R_z}{2}=r}\), zaś \(\displaystyle{ \phi_{1,2}=0}\) (bo prędkości początkowe ciał A i B są równe zero).
Czas i miejsce spotkania znajdujesz oczywiście rozwiązując równanie: \(\displaystyle{ x_1(t_s)=x_2(t_s)}\).
Tobie pozostawiam kwestię wyznaczenia częstości drgań. Wychodząc od \(\displaystyle{ |F_h|=|F_g|}\) (tj. \(\displaystyle{ kx=m\gamma (x)}\)) i rozpisując odpowiednio natężenie dojdziesz do tej zależności bez kłopotu.