Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin{\frac{x}{3^n}}, x \in \mathbb{R}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| \sin t \right| \le \left| t\right| }\) zatem

Ponad to \(\displaystyle{ (\forall x\in \RR) \sum_{}^{} 2^n\frac{\left| x\right| }{3^n} <\infty}\). Zatem szereg jest punktowo zbieżny dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\). Można nawet powiedzieć, że jest niemal jednostajnie zbieżny czyli zbieżny na zwartych podzbiorach \(\displaystyle{ \RR}\). A to dlatego, że dla każdego zwartego zbioru \(\displaystyle{ K \subset \RR}\) twierdzenie Weierstrassa zapewnia o skończoności \(\displaystyle{ \sup_{K}\left| x\right| }\), co pozwala z kolejnego twierdzenie Weierstrassa wnioskować o jednostajnej zbieżności na \(\displaystyle{ K}\).

Nie ukrywam nie miałem styczności ze wspomnianymi twierdzeniami, ale czy twojego rozumowania nie mogę tak pociągnąć:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^n\frac{\left| x\right| }{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right) ^n \cdot \left| x\right| =\left| x\right| \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right) ^n=2\left| x\right|}\) (ostatnie przekształcenie to po prostu suma szeregu geometrycznego). \(\displaystyle{ x}\) jest jakąś stałą, więc \(\displaystyle{ 2\left| x\right|< \infty }\) czyli szereg jest zbieżny.

emong00 pisze: ↑5 gru 2022, o 00:09ale czy twojego rozumowania nie mogę tak pociągnąć:

Możesz, ale Ty go nie ciągniesz, bo Janusz Tracz już napisał:

Janusz Tracz pisze: ↑4 gru 2022, o 15:50 Zatem szereg jest punktowo zbieżny dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\).

uznając to za wystarczająco oczywiste, by rachunek zostawić Tobie. Jako jednak, że mamy tu do czynienia z szeregiem funkcyjnym, to postanowił nieco pogłębić swoją odpowiedź.

JK

Rzeczywiście... Nie skupiłem się na doczytaniu, mój błąd. W każdym razie jestem wdzięczny!