Matematyka.pl

Witam.

Mam problem z kilkoma zadaniami z ciągłości funkcji i zbieżności szeregów funkcyjnych.

1) Dany jest ciąg funkcji:
\(\displaystyle{ f_{n} (x) := \begin{cases} -nx + 1, \quad dla \quad x \in [0, \frac{1}{n} ] \\ 0, \quad \quad \quad \quad dla \quad x > \frac{1}{n} \end{cases}}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ \mathrm{lim}_{n} \ f_{n}}\). Jakiego rodzaju jest to zbieżność?

2) Pokazać, że szereg funkcyjny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1+n^2x^2}}\)
jest zbieżny jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ [a, +infty )}\) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ a > 1}\).

3) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana jest, jako suma szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ f(x) := \sum_{n=1}^{+ } n(3x)^{n-1}}\).
Pokazać, że jest ona ciągła na przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{1}{3}, \ - \frac{1}{3} )}\). Obliczyć:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{ \frac{1}{8}} f(x) dx}\)

4) Znaleźć obszar zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ } sin \frac{x}{2^n}}\)
Na jakich zbiorach jest to zbieżność jednostajna?

5) (*) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana jest, jako suma szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ f(x) := \sum_{n=1}^{+ } \frac{1}{n^4 + x^2}}\).
Pokazać, że jest ona ciągła na przedziale \(\displaystyle{ (0, + )}\). Obliczyć
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+ } f(x) dx}\).

* -Wsk.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ } \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2 }{6}}\)

Z góry dziękuję za wszystkie odpowiedzi.

Pozdrawiam.

1) Można zauważyć że ciąg zbiega punktowo do funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1 \Leftrightarrow x=0 \\ 0 \Leftrightarrow x>0\end{cases}}\)
która nie jest ciągła. Wyrazy ciągu są funkcjami ciągłymi stąd nie może być mowy o zbieżności jednostajnej. Dlaczego? Otóż odległość funkcji f od dowolnego wyrazu ciągu (w metryce supremum) będzie zawsze równa 1 czyli nie zbiega do zera.

3)Można dostrzec że nasz szereg jest w gruncie rzeczy kwadratem Cauchy'ego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (3x)^n}\) czyli szeregu geometrycznego o którym widać że jest zbieżny tylko na danym przedziale i wartość granicy to zwykła wartość sumy szeregu geometrycznego.

1) Dokladnie tak, jak powyzej. Mozna troche skrocic. Szereg funkcji ciaglych moze byc jednostajnie zbiezny jedynie do funkcji ciaglej. Granica punktowa nie jest ciagla, wiec zbieznosc nie jest jednostajna.
2) Na przyklad z warunku Cauchy'ego. Niech \(\displaystyle{ n_2>n_1>M}\) dla \(\displaystyle{ M}\), pewnej ustalonej liczby naturalnej. Wyrazy szeregu sa dodatnie, zetem:
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i=n_1}^{n_2}\frac{1}{1+x^2n^2}\right\|_\inftya>1}{ \le }\left\|\sum_{i=M}^\infty\frac{1}{1+n^2}\right\|_\infty \stackrel{M \rightarrow \infty}{\longrightarrow}0}\),
bo ten ostatni szereg liczbowy jest zbiezny. Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ M}\), ze dla dowolnych \(\displaystyle{ n_2>n_1>M}\) i dla kazdego \(\displaystyle{ x\in[a,\infty)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left\|\sum_{i=n_1}^{n_2}\frac{1}{1+x^2n^2}\right\|_\infty}\). A to z definicji oznacza zbieznosc jednostajna.
3) Mozna nieco prosciej, choc z uzyciem tego samego triku.
Promien zbieznosci szeregu potegowego \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac 13}\), zatem jest to szereg zbiezny bezwzglednie na przedziale \(\displaystyle{ \left(-\frac 13,\frac 13\right)}\). Suma tego szeregu potefgowego jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n=\frac{1}{1-3x}}\). Ze zbieznosci bezwzglednej wynika zbieznosc bezwzgledna szeregu pochodnych do pochodnej, precyzyjniej:
\(\displaystyle{ f'(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}n(3x)^{n-1}}\)
Skad otrzymujemy dla \(\displaystyle{ x\in\left(-\frac 13,\frac 13\right)}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n(3x)^{n-1}=\left(\frac{1}{1-3x}\right)'=-\frac{3}{(1-3x)^2}}\).
Stad juz latwo rozpracowac reszte.
4. \(\displaystyle{ 0}\), szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{2^n}}\) jest zbiezny punktowo do zera na calej prostej rzeczywistej, stad na mocy kryterium porownawczego badany szereg rowniez. Co wiecej, szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{2^n}}\) jest zbiezny jednostajnie na kazdym zwartym (czyli ograniczonym i domknietym) podzbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), wiec dotyczy to rowniez wyjsciowego szeregu. W koncu zauwazamy, ze \(\displaystyle{ \sin\frac{2^{n-1}\pi}{2^n}=\sin\frac{\pi}{2}=1}\), zatem ta zbieznosc nie jest jednostajna na calej prostej rzeczywistej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
5. Mozna tak zaczac (jak wymysle prostszy argument, to dam znac).

Na mocy tw. Diniego funkcja f jest ciagla na kazdym domknietym przedziale (wlasciwym) zawartym w zbiorze \(\displaystyle{ (0,\infty)}\) jako, ze jest to suma szeregu o wyrazach dodatnich bedacych funkcjami ciaglymi. (Tw. Diniego powiada, ze jesli ciag funkcji ciaglych spelniajacych \(\displaystyle{ f_0\le f_1\le f_2\le...}\) jest zbiezny punktowo na pewnym zbiorze zwartym, to jego granica jest funkcja ciagla na tym zbiorze. Latwo sie to dowodzi, wiec szkoda nie korzystac). Skoro tak, to te calke niewlasciwa mozna zamienic na sume calek z wyrazow szeregu. A to sie daje policzyc. NA samym koncu sumujac calki wykorzystujemy wskazowke.

witam, ja piszę odnośnie zadania pierwszego, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego ciąg zbiega punktowo do podanej funkcji i czy jest zbieżny punktowo.

Pozdrawiam