Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną. Jeśli ciąg nie jest jednostajnie zbieżny to podaj przykład przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\), dla którego ciąg będzie jednostajnie zbieżny. Sprawdź czy ciąg jest niemal jednostajnie zbieżny.
\(\displaystyle{ f_{n} = \sin \left( \frac{x}{n} \right)}\) - ciąg z polecenia.
Badam czy dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) od pewnogo \(\displaystyle{ n>N}\) wyrazy zbiegają do jakiejś funkcji \(\displaystyle{ f}\), takiej że \(\displaystyle{ |f_{n} - f| < \varepsilon}\). Inaczej mówiąc, od dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) sprawdzam, czy kolejne \(\displaystyle{ f_{n}}\) mieszczą się w \(\displaystyle{ [f-\varepsilon,f+\varepsilon]}\). Tak rozumiem zbieżność jednostajną, jest ok?
W każdym razie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sin \left( \frac{x}{n} \right) = 0}\)
Czyli to \(\displaystyle{ 0}\) to nasza funkcja \(\displaystyle{ f}\), a dla każdych kolejnych \(\displaystyle{ n}\) wykres \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{n} \right)}\) się "spłaszcza" i zbliża do \(\displaystyle{ f}\). Jest zbieżność punktowa do \(\displaystyle{ 0}\).
Teraz badam zbieżność jednostajną. Czyli sprawdzam, czy dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n>N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f_{n} - f| < \varepsilon}\). Teraz inaczej niż w badaniu zbieżności punktowej, najpierw wybieram sobie dowolny \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i później sprawdzam, czy od któregoś \(\displaystyle{ n>N}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\) nierówność \(\displaystyle{ |f_{n} - f| < \varepsilon}\) jest prawdziwa.
Tutaj tak na oko, wyobrażam sobie kolejne funkcje dla \(\displaystyle{ n=\{1,2,...\}}\) jako coraz bardziej spłaszczone wersje \(\displaystyle{ \sin(x)}\) i zawsze można wybrać taki mały \(\displaystyle{ \varepsilon}\), że ta funkcja \(\displaystyle{ f_{n}}\) z niego "wyskoczy".
Żeby to pokazać trzeba sprawdzić czy \(\displaystyle{ \| f_{n} - f \|_{\sup A} \rightarrow 0}\).
\(\displaystyle{ \sup \left|\sin \left( \frac{x}{n} \right) - 0 \right| = \sup \left|\sin \left( \frac{x}{n} \right) \right| = 1}\) czyli nie ma zbieżności jednostajnej.
Ukryta treść:
Wobec tego mamy zbieżność punktową, nie mamy jednostajnej, pozostało podać przykład przedziału, dla którego \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{n} \right)}\) będzie zbieżny jednostajnie i sprawdzić czy \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{n} \right)}\) jest niemal jednostajnie zbieżny.
Wezmę sobie np. przedział \(\displaystyle{ x \in [0,5]}\).
\(\displaystyle{ \sup \left| \sin \left( \frac{x}{n} \right) - 0 \right| = \sup \left|\sin \left( \frac{x}{n} \right) \right|}\)
I tu zaczynam się gubić. Mam znaleźć takie n, żeby w tym przedziale sinus zbiegał do \(\displaystyle{ 0}\)?
W ogóle to co wyżej napisałem jest dobrze? Jak tak to jak to dokończyć?
Bardzo proszę o pomoc.
