Matematyka.pl

Witam, zadane mam obliczyć, jak w temacie zbieżność punktową i jednostajną szeregu funkcyjnego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ x^{2} }{\left( 1+ x^{2} \right) ^{n} }}\) przez potęgę w mianowniku niezbyt wiedziałem jak to oszacować, więc postanowiłem to zrobić sposobem z pochodną, jednak po wyliczeniu pierwiastków \(\displaystyle{ x=0 , x= \sqrt{ \frac{1}{n-1} } , x= -\sqrt{ \frac{1}{n-1} }}\) i podstawieniu dwóch ostatnich doszedłem do sytuacji \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n-1}} {\left( \frac{n}{n-1}\right)^{n} }}\) zbytnio nie wiem co z tym dalej robić. Z góry dziękuję za pomoc

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left|\frac{x^2}{x^2+1}\right| < 1 , \ \ x\in \RR.}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{n}} = 0}\)

Niech

\(\displaystyle{ d_{n} = \sup _{-\infty < x < \infty}|f_{n} - f(x)|}\)

Jak obliczyłeś funkcje \(\displaystyle{ f_{n}}\) o wartościach dodatnich w \(\displaystyle{ \RR}\) osiągają swoje kresy górne w punktach \(\displaystyle{ x'_{n} = -\sqrt{\frac{1}{n-1}}, \ \ x''_{n} = \sqrt{\frac{1}{n-1}}.}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} d_{n}=\lim_{n\to \infty} f_{n}(x'_{n}) = \lim_{n\to \infty} f_{n}(x''_{n})=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n}}\right)=0\cdot\frac{1}{e}=\\ = 0.}\)

Jaki stąd wniosek?

Czyli z tego wynika, że w punkcie 0 mam wartość największą? A potem podstawiam za x i staram się to szacować?

Nie, w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) występuje wartość najmniejsza tych funkcji - równa zeru.

Skoro d jest równa 0 tzn. ,że będzie jednostajnie zbieżny, z czego wynika że będzie również punktowo zbieżny

Tak, bo zbieżność jednostajna \(\displaystyle{ f_{n} \rightrightarrows f(x)}\) jest równoważna temu, że odległość:

\(\displaystyle{ d(f_{n}, f) = \parallel f_{n} - f \parallel _{\infty} \rightarrow 0,}\) dla \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty.}\)

dziękuję za pomoc i cierpliwość

Czy to zadanie na pewno zostało zrobione poprawnie? Bo sprawdzanie, czy ta największa wartość zbiega do zera to metoda sprawdzania zbieżności ciągu funkcyjnego. Tu natomiast trzeba zbadać szereg funkcyjny.

Moim zdaniem masz rację.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ x^{2} }{\left( 1+ x^{2} \right) ^{n} }= \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{1+x^2} } =1}\)
natomiast dla \(\displaystyle{ x_0=0}\) mamy szereg złożony z samych zer, czyli zero. Gdyby ten szereg funkcyjny był jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \RR}\), to ciąg sum częściowych, który jest ciągiem funkcji ciągłych, byłby ciągiem jednostajnie zbieżnym na \(\displaystyle{ \RR}\), zatem jego granica byłaby funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ \RR}\), no a nie jest, ponieważ funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 \text{ gdy } x\neq 0\\ 0 \text{ gdy } x=0 \end{cases}}\)
w sposób oczywisty nie jest ciągła.
Stąd wniosek, że wskazany szereg funkcyjny nie jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \RR}\).
Natomiast jest jednostajnie zbieżny w \(\displaystyle{ \RR\setminus(-\epsilon, \epsilon)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).

Jeśli ktoś chce inaczej: wyrazy ciągu „reszt" dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=N}^{+\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} = \frac{x^2}{(1+x^2)^N} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}= \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^{N-1} }}\)
mogą przyjmować wartości dowolnie bliskie \(\displaystyle{ 1}\), więc
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \left( \sup_{x\in \RR}|f(x)-f_N(x)|\right) \neq 0}\).