Czy ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}=\frac{1}{n} \ln(1+e^{nx})}\) jest zbieżny jednostajnie nad zbiorem liczb rzeczywistych?
Ogólnie wyszło mi, że ten ciąg zbiega punktowo do\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x &\text{dla } x \ge 0\\0 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\).
Próbowałem to zrobić z definicji, czyli chciałem znaleźć ekstrema lokalne, ale pochodna wyrażenia \(\displaystyle{ f_{n}-f}\) z wyszła \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-1}{1+e^{nx}} &\text{dla } x \ge 0\\\frac{e^{nx}}{1+e^{nx}} &\text{dla } x<0 \end{cases} }\). Problem pojawia się taki, że nie wiem co dalej zrobić, dlatego proszę tu o pomoc.
Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego
-
cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego
Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) jest
\(\displaystyle{ |f_n(x) -f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) \le \frac{1}{n} \ln 2}\),
więc ta różnica zbiega jednostajnie do zera. Dla \(\displaystyle{ x > 0}\) z kolei
\(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - x = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - \frac{1}{n} \ln e^{nx} = \frac{1}{n} \ln \frac{1+e^{nx}}{e^{nx}} = \frac{1}{n} \ln(1+e^{-nx})}\)
i to wyrażenie zbiega jednostajnie do zera z tego samego powodu co wcześniej, bo \(\displaystyle{ -x < 0}\).
A skoro ciąg jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) i na \(\displaystyle{ (0, \infty)}\), to oczywiście jest też zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\).
\(\displaystyle{ |f_n(x) -f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) \le \frac{1}{n} \ln 2}\),
więc ta różnica zbiega jednostajnie do zera. Dla \(\displaystyle{ x > 0}\) z kolei
\(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - x = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - \frac{1}{n} \ln e^{nx} = \frac{1}{n} \ln \frac{1+e^{nx}}{e^{nx}} = \frac{1}{n} \ln(1+e^{-nx})}\)
i to wyrażenie zbiega jednostajnie do zera z tego samego powodu co wcześniej, bo \(\displaystyle{ -x < 0}\).
A skoro ciąg jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) i na \(\displaystyle{ (0, \infty)}\), to oczywiście jest też zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\).