Matematyka.pl

mam do rozwiązania zadanie z kolokwium, i troszkę się śpieszę, bo potrzebne jest mi rozwiązanie jeszcze najlepiej dziś. treść zadania:

Korzystając z poznanych faktów dotyczących ciągów zbieżnych do liczby e, udowodnij nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}, gdzie\quad n N}\)

//koniec//
tak na marginesie zauważę, może źle, ale jeśli weźmiemy prawą nierówność \(\displaystyle{ [ ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n} ]}\), to po pomnożeniu obustronnie przez n dostajemy:

\(\displaystyle{ L = nln(1+\frac{1}{n}) = ln(1+\frac{1}{n})^n = 1}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{n}n = 1}\)

podstawiamy do nierówności i mamy: 1

\(\displaystyle{ ln(1+\frac{1}{n})^n = 1}\)

Nieprawda. Raczej:
\(\displaystyle{ \ln(1 + \frac{1}{n})^{n} \to 1}\)
Teraz wystarczy udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{n})^{n}}\) jest rosnący i stąd wynika druga nierówność.
Odnośnie pierwszej - analogicznie wystarczy wykazać, że ciąg:
\(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 + \frac{1}{n})}\) zbiega do \(\displaystyle{ e}\) i jest malejący.

można tak pokazać?:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\)

Nie bardzo. Prawa strona dąży do \(\displaystyle{ \ln e}\) czyli 1, a nie do \(\displaystyle{ e}\).