Matematyka.pl

Witam.
Mam do rozwiązania takie zadanie:
\(\displaystyle{ f_{n} (x)=\frac{ x^{n} }{1+x^{n}} , X=[2,\infty)}\)

Zbieżność punktową zbadałem w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ x^{n} }{1+x^{n}} = \frac{\infty}{\infty} = 1}\) (z d'Hospitala)
Mam natomiast problem ze znalezieniem supremum do zbieżności jednostajnej:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} sup | \frac{ x^{n} }{1+x^{n}} - 1|}\)
Pochodna z tej funkcji jest równa \(\displaystyle{ \frac{ nx^{n-1} }{(1+x^{n})^{2}}}\), jednak na podanym przedziale \(\displaystyle{ X=[2,\infty)}\) się nie zeruje, w takim razie co dalej?
Nie ma zbieżności?

Pozdrawiam
Mateusz

\(\displaystyle{ | \frac{x^n}{1+x^n} - 1 | = | \frac{x^n}{1+x^n} - \frac{1+ x^n}{1+x^n} | =
\frac{1}{1+x^n} < \frac{1}{1+2^n} \rightarrow 0}\)

Dzięki za odpowiedź, czyli zbieżności jednostajnej nie ma

Jak to nie ma? A kiedy Twoim zdaniem by była?

Przepraszam, pomyliłem się dąży do zera, więc zbieżność oczywiście jest.
Pozdrawiam
Mateusz