Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n (2n+1)x^{2n}}\) . Podaj przedzial zbieznosci tego szeregu.

Nie mam kompletnie pojecia jak z sumy wyprowadzic wzor na sume . Prosze o pomoc.

Ze wzoru Cauchy'ego-Hadamarda uzyskujesz bez problemu promień zbieżności tego szeregu (sprawdzenie zbieżności na brzegu nie powinno nastręczać problemów, bo w tym przypadku nawet warunek konieczny nie jest tam spełniony), a jeśli chodzi o wzór na sumę, to wsk. \(\displaystyle{ (2n+1)x^{2n}=\left(x^{2n+1}\right)'}\) i scałkuj wyraz po wyrazie (całką oznaczoną od zera do iksa, ażeby uniknąć rozważań nt. stałych). Po wciągnięciu \(\displaystyle{ (-1)^n}\) dostaniesz szereg geometryczny i to się ładnie zwija (tam, gdzie jest zbieżny); następnie różniczkujesz otrzymane zwarte wyrażenie i masz pożądany wzór.