Matematyka.pl

Udowodnij zbieżność jednostajną nad \(\displaystyle{ Y=\mathbb{R}}\) stosując kryterium Weierstrassa.

\(\displaystyle{ I(y)= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}} } dx }\)

Ogólnie największym dla mnie problemem jest zastosowanie kryterium Weierstrassa. Z tego co mnie uczono, to można byłoby je zastosować w szeregach. Potrafię zmienić całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x) dx }\) na szereg, ale nieskończoności mnie pokonują. Proszę o wskazówki

Wersja kryterium Weierstrassa dla całek jest następująca: załóżmy, że \(\displaystyle{ Y}\) jest dowolnym zbiorem i \(\displaystyle{ f : [0, \infty) \times Y \to \RR}\) jest funkcją, taką że dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) funkcja \(\displaystyle{ f_y(x) = f(x, y)}\) jest całkowalna na każdym przedziale ograniczonym postaci \(\displaystyle{ [0, b]}\), gdzie \(\displaystyle{ b > 0}\). Załóżmy też, że \(\displaystyle{ g : [0, \infty) \to \RR}\) jest taką funkcją, że

(i) \(\displaystyle{ |f(x, y)| \le g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0, y \in Y}\);

(ii) istnieje skończona wartość całki \(\displaystyle{ \int \limits_0^{\infty} g(x) \, \dd x}\).

Wtedy całka \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} f(x, y) \, \dd x}\) istnieje i jest zbieżna jednostajnie na \(\displaystyle{ Y}\).

Dobra, to jeszcze poprawię zadanie, bo tam jest całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}} } dx }\), a nie od zera.

To więc próbuję rozwiązać zadanie

\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| dx \le \int_{1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}} }\) ta nierówność zachodzi dla każdego x większego albo równego 1

Czyli jak udowodnię, że całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}x^{-\frac{7}{5} } }\) jest zbieżna, to udowodnię zbieżność jednostajnej mojej funkcji \(\displaystyle{ I(y)}\) na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ \int x^{- \frac{7}{5}}= \frac{-5}{2} \cdot x^{- \frac{2}{5}} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ T\to +\infty} \int_{1}^{T}x^{-\frac{7}{5} }= \lim_{ T\to +\infty}\frac{-5}{2} \cdot T^{- \frac{2}{5}}- \frac{-5}{2} =\frac{5}{2}}\)

Czyli całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}x^{-\frac{7}{5} } }\) jest zbieżna, czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ I(y)}\) jest zbieżna jednostajnie na zbiorze \(\displaystyle{ Y=\mathbb{R}}\)

Koniec dowodu

Czy to wszystko co napisałem wyżej jest poprawne?

Tak, z tym że zamiast

cmnstrnbnn pisze: ↑23 cze 2022, o 12:27 \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| dx \le \int_{1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}} }\)

powinno być

\(\displaystyle{ \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| \le \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}}}\).

Faktycznie racja, ale czy to dużo zmieni w moim rozwiązaniu?

Z graficznego punktu widzenia pewnie nie, bo znikną tylko całki, a reszta zostanie jaka jest. Natomiast z matematycznego zmiana jest zasadnicza, bo sprawia że dowód staje się logiczny i poprawny. W rozumowaniu matematycznym każdy wygłoszony fakt musi w oczywisty sposób wynikać z faktów wygłoszonych wcześniej. Tymczasem po pierwsze przed zastosowaniem kryterium nawet nie wiadomo czy całka

$$\int \limits_1^{\infty} \left| \frac{\cos(|y|-x^7)}{\sqrt[5]{x^4+x^7}} \right| \, \dd x,$$

jest zbieżna, więc tym bardziej nie jest oczywiste, że spełnia ona rzeczoną nierówność

$$\int \limits_1^{\infty} \left| \frac{\cos(|y|-x^7)}{\sqrt[5]{x^4+x^7}} \right| \, \dd x \le \int \limits_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7}} \, \dd x.$$

Po drugie zaś nawet gdyby było skądś wiadomo, że całka istnieje i spełnia taką nierówność, to z samej nierówności między całkami nie da się wywnioskować, że zbieżność jest jednostajna - w dowodzie kryterium Weierstrassa jest bardzo istotne, że nierówność jest spełniona dla funkcji, a nie tylko ich całek. Mam nadzieję że jest jasne, iż stwierdzenie postaci "dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ g(x) \le h(x)}\)" niesie o wiele więcej informacji niż $$"\int \limits_1^{\infty} g(x) \, \dd x \le \int \limits_1^{\infty} h(x) \, \dd x".$$

Choć może z praktycznego punktu widzenia to jeszcze zależy, co studiujesz - poza kierunkami czysto matematycznymi pewnie nikt by na tę subtelność nie zwrócił uwagi, mimo że od strony logicznej jest to rażący błąd.

Tak, jasne

Dziękuję bardzo za pomoc, już wszystko rozumiem