Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arctan(3-x)}\) w szereg Maclaurina, nie korzystając z gotowych rozwinięć.
Policzyłam sobie kilka pierwszych pochodnych i ich wartości w punkcie 0 i otrzymałam:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\arctan(3)}{0!}+\frac{\frac{-1}{10}}{1!}x+\frac{\frac{-6}{100}}{2!}x^2+\frac{\frac{-52}{1000}}{3!}x^3+\frac{\frac{-576}{10000}}{4!}x^4+...}\)
I zapisałam to jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{-1\cdot ???}{10^n n!} }\) i nie wiem jak zapisać te liczby \(\displaystyle{ 1,6,52,576,...}\)
Proszę o pomoc?
Szereg Maclaurina
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Szereg Maclaurina
Ostatnio zmieniony 18 gru 2022, o 12:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Szereg Maclaurina
\(\displaystyle{ f(x) = \arctan(3-x)}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = -[1 + (3-x)^2]^{-1} = \frac{-1}{1-[-(3-x)^2]}}\)
\(\displaystyle{ (1 -\xi)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \xi^{k} }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(3 -x)^{2n} }\)
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(3 -2x)^{n+1}}{n+1}, \ \ |3-2x|<1. }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = -[1 + (3-x)^2]^{-1} = \frac{-1}{1-[-(3-x)^2]}}\)
\(\displaystyle{ (1 -\xi)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \xi^{k} }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(3 -x)^{2n} }\)
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(3 -2x)^{n+1}}{n+1}, \ \ |3-2x|<1. }\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2022, o 10:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Szereg Maclaurina
Szereg MacLaurina to szereg w otoczeniu `x=0` więc powyższe rachunki słabo się sprawdzają. A wzorek na `f(x)` całkiem nie wygląda jak całka z `f'`