Matematyka.pl

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arctan(3-x)}\) w szereg Maclaurina, nie korzystając z gotowych rozwinięć.
Policzyłam sobie kilka pierwszych pochodnych i ich wartości w punkcie 0 i otrzymałam:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\arctan(3)}{0!}+\frac{\frac{-1}{10}}{1!}x+\frac{\frac{-6}{100}}{2!}x^2+\frac{\frac{-52}{1000}}{3!}x^3+\frac{\frac{-576}{10000}}{4!}x^4+...}\)
I zapisałam to jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{-1\cdot ???}{10^n n!} }\) i nie wiem jak zapisać te liczby \(\displaystyle{ 1,6,52,576,...}\)
Proszę o pomoc?

Na Twoim miejscu spróbowałbym zróżniczkować tę funkcję i rozłożyć na ułamki proste (w liczbach zespolonych).

\(\displaystyle{ f(x) = \arctan(3-x)}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = -[1 + (3-x)^2]^{-1} = \frac{-1}{1-[-(3-x)^2]}}\)

\(\displaystyle{ (1 -\xi)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \xi^{k} }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(3 -x)^{2n} }\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(3 -2x)^{n+1}}{n+1}, \ \ |3-2x|<1. }\)

Szereg MacLaurina to szereg w otoczeniu `x=0` więc powyższe rachunki słabo się sprawdzają. A wzorek na `f(x)` całkiem nie wygląda jak całka z `f'`