Matematyka.pl

Muszę rozwinąć w szereg Laurenta funkcję: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\), dla obszaru: \(\displaystyle{ \left|z+1\right| < 2}\).

Mam więc wzór na rozwinięcie za pomocą sumy szeregu: \(\displaystyle{ \frac{1}{1-c \cdot w} = \sum_{ n=0}^{\infty} (c \cdot w) ^{n}, dla \left[ w\right] < \frac{1}{\left[ c\right] } }\)

Wygląda na to, że \(\displaystyle{ c}\) powinno być równe \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2}\right] }\), a moje \(\displaystyle{ w}\) to \(\displaystyle{ \left[ z+1\right] }\).

Nie miałabym problemu, gdyby obszar był opisany jako \(\displaystyle{ \left| z\right|< 2}\), jednak ten środek w \(\displaystyle{ -1}\) trochę mi namieszał i w żaden sposób nie umiem przekształcić mianownika tak, aby skorzystać ze wzoru na sumę szeregu.

Może ktoś podpowie jakąś magiczną sztuczkę, jaką można tu zastosować?

\(\displaystyle{ \frac{|z+1|}{2} < 1 }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 -\left(\frac{z+1}{2}\right)}\right) = \ \ ...}\)

janusz47 pisze: ↑20 lis 2022, o 12:24
\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 -\left(\frac{z+1}{2}\right)}\right) = \ \ ...}\)

Nie mam pomysłu, jak dojść do tego, żeby w mianowniku było: \(\displaystyle{ 1 - ...}\)
Czy nie wkradła się pomyłka? Po wymnożeniu nie wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\)

forest99 pisze: ↑20 lis 2022, o 09:43Muszę rozwinąć w szereg Laurenta funkcję: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\), dla obszaru: \(\displaystyle{ \left|z+1\right| < 2}\).

Nie pomyliłaś się w przepisywaniu? Bo jeśli treść faktycznie wygląda w ten sposób, to po pierwsze musi być \(\displaystyle{ 0 < |z+1| < 2}\), a po drugie jedyną możliwą odpowiedzią jest szereg złożony z jednego wyrazu: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\).

Natomiast sporo więcej sensu miałoby albo rozwijanie funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) w obszarze \(\displaystyle{ |z-1|<2}\), albo funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\) w obszarze \(\displaystyle{ |z+1|<2}\).

Dasio11 pisze: ↑20 lis 2022, o 14:59

forest99 pisze: ↑20 lis 2022, o 09:43Muszę rozwinąć w szereg Laurenta funkcję: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\), dla obszaru: \(\displaystyle{ \left|z+1\right| < 2}\).

Nie pomyliłaś się w przepisywaniu? Bo jeśli treść faktycznie wygląda w ten sposób, to po pierwsze musi być \(\displaystyle{ 0 < |z+1| < 2}\), a po drugie jedyną możliwą odpowiedzią jest szereg złożony z jednego wyrazu: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\).

Właściwie, zgodnie z pełną treścią zadania, rozkładana funkcja to \(\displaystyle{ \frac{2}{(z+1)(z-1)} }\) w pierścieniu \(\displaystyle{ 0<\left| z+1\right|<2 }\)
Podniosło mnie na duchu, że tym razem nie mogę czegoś zrobić bo się nie da, a nie że czegoś nie umiem

Funkcja po rozkładzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} }\), w takim razie rozwijam pierwszy ułamek i \(\displaystyle{ f(z) = \sum_{ \infty }^{n=0} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} - \frac{1}{z+1} }\)

Uwaga: będzie głupie pytanie - dlaczego drugi ułamek jest pojedynczym wyrazem? Domyślam się, że biorąc się za ten temat, należałoby wiedzieć, ale jednak nie do końca to czuję. Jak wykryć taki podstęp na przyszłość?

Przed sumą brakuje minusa, a indeksy pisze się tak: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}}\)

Odnośnie pytania - rozwijanie funkcji w szereg Laurenta o środku w \(\displaystyle{ a=-1}\) polega na przedstawieniu tej funkcji za pomocą sumy wyrazów postaci \(\displaystyle{ a_k \cdot (z+1)^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Jeśli oryginalny wzór funkcji zupełnie takiej postaci nie przypomina, to używa się znanych technik, by uzyskać rozwinięcie. Ale ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) od razu jest takiej postaci jak trzeba, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = 1 \cdot (z+1)^{-1}}\) - dlatego nie trzeba go przekształcać, a wystarczy przepisać.

Analogiczny przykład: przypuśćmy, że mamy przedstawić wielomian \(\displaystyle{ w(x) = x^2 + x - 1}\) w postaci \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n a_k (x-1)^k}\). Naturalnym rozwiązaniem jest przekształcenie pierwszego wyrazu tak:

\(\displaystyle{ x^2 = ((x-1)+1)^2 = (x-1)^2 + 2(x-1) + 1}\).

Natomiast kolejnych dwóch wyrazów, \(\displaystyle{ x-1}\), nie trzeba przekształcać, bo już są w odpowiedniej postaci. Dlatego odpowiedzią byłoby \(\displaystyle{ (x-1)^2 + 3(x-1) + 1}\).